Theorem sinval 7637

Description: Value of the sine function.

Assertion

Ref	Expression
sinval	|- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Proof of Theorem sinval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = A -> (i x. x) = (i x. A))
2	1	fveq2d 3839	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (i x. x)) = (exp` (i x. A)))
3		opreq2 4027	. . . . 5 |- (x = A -> (-ui x. x) = (-ui x. A))
4	3	fveq2d 3839	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (-ui x. x)) = (exp` (-ui x. A)))
5	2, 4	opreq12d 4036	. . 3 |- (x = A -> ((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) = ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))))
6	5	opreq1d 4033	. 2 |- (x = A -> (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
7		df-sin 7505	. 2 |- sin = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)))}
8		oprex 4041	. 2 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. V
9	6, 7, 8	fvopab4 3891	1 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  ici 5390   x. cmul 5393   - cmin 5446  -ucneg 5447   / cdiv 5448  2c2 6107  expce 7498  sincsin 7500

This theorem is referenced by:  sincl 7639  resinval 7641  sinneg 7650  efival 7655  sinaddi 7659  sinco 8934  sineq0re 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fv 3279  df-opr 4023  df-sin 7505

Copyright terms: Public domain