Theorem sinvalt 7407

Description: Value of the sine function.

Assertion

Ref	Expression
sinvalt	|- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Proof of Theorem sinvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3966	. . . . 5 |- (x = A -> (i x. x) = (i x. A))
2	1	fveq2d 3725	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (i x. x)) = (exp` (i x. A)))
3		opreq2 3966	. . . . 5 |- (x = A -> (-ui x. x) = (-ui x. A))
4	3	fveq2d 3725	. . . 4 |- (x = A -> (exp` (-ui x. x)) = (exp` (-ui x. A)))
5	2, 4	opreq12d 3975	. . 3 |- (x = A -> ((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) = ((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))))
6	5	opreq1d 3972	. 2 |- (x = A -> (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))
7		df-sin 7278	. 2 |- sin = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (((exp` (i x. x)) - (exp` (-ui x. x))) / (2 x. i)))}
8		oprex 3980	. 2 |- (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)) e. V
9	6, 7, 8	fvopab4 3777	1 |- (A e. CC -> (sin` A) = (((exp` (i x. A)) - (exp` (-ui x. A))) / (2 x. i)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  ici 5223   x. cmul 5226   - cmin 5279  -ucneg 5280   / cdiv 5281  2c2 5922  expce 7271  sincsin 7273

This theorem is referenced by:  sinclt 7409  resinvalt 7411  sinnegt 7420  efivalt 7425  sinadd 7429  sinco 8650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195  df-opr 3962  df-sin 7278

Copyright terms: Public domain