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Theorem smogt 6380
Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smogt  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem smogt
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  x  =  C )
2 fveq2 5486 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
31, 2sseq12d 3209 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  C  C_  ( F `  C )
) )
43imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C )
) ) )
5 smodm2 6368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
653adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  A )
7 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
8 ordelord 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
96, 7, 8syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
10 vex 2793 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1110elon 4401 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
129, 11sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
13 eleq1 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
14133anbi3d 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  <->  ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A
) ) )
15 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
16 fveq2 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1715, 16sseq12d 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  y  C_  ( F `  y ) ) )
1814, 17imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) ) ) )
19 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  F  Fn  A )
20 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  Smo  F )
21 ordtr1 4435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2221exp3acom23 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
236, 7, 22sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )
2423imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
25 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2619, 20, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2726ralimdva 2623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y ) ) )
2853adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  A )
29 simp31 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  x  e.  A )
3028, 29, 8syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  x )
31 simp32 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  x )
32 ordelord 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3330, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  y )
34 smofvon2 6369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  x )  e.  On )
35343ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  On )
36 eloni 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  e.  On  ->  Ord  ( F `  x ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  ( F `  x
) )
38 simp33 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) )
39 smoel2 6376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
40393adantr3 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
41403impa 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )
42 ordtr2 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x ) )  ->  ( (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4342imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x
) )  /\  (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
4433, 37, 38, 41, 43syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
45443expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) )  ->  y  e.  ( F `  x ) ) )
46453expd 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  x  ->  ( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
47463impia 1150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) )
4847imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4948ralimdva 2623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) ) )
50 dfss3 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) )
5149, 50syl6ibr 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5227, 51syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) )  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5453a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) ) )
5518, 54tfis2 4647 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5612, 55mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) )
57563expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5857com12 29 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
594, 58vtoclga 2851 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C ) ) )
6059com12 29 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  ( C  e.  A  ->  C 
C_  ( F `  C ) ) )
61603impia 1150 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545    C_ wss 3154   Ord word 4391   Oncon0 4392    Fn wfn 5217   ` cfv 5222   Smo wsmo 6358
This theorem is referenced by:  smorndom  6381  oismo  7251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-fv 5230  df-smo 6359
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