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Theorem smogt 6400
Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smogt  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )

Proof of Theorem smogt
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  x  =  C )
2 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
31, 2sseq12d 3220 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  C  C_  ( F `  C )
) )
43imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C )
) ) )
5 smodm2 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
653adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  A )
7 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
8 ordelord 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
10 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1110elon 4417 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
129, 11sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
13 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
14133anbi3d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  <->  ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A
) ) )
15 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1715, 16sseq12d 3220 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  y  C_  ( F `  y ) ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) ) ) )
19 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  F  Fn  A )
20 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  Smo  F )
21 ordtr1 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2221exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
236, 7, 22sylc 56 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )
2423imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
25 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2619, 20, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2726ralimdva 2634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y ) ) )
2853adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  A )
29 simp31 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  x  e.  A )
3028, 29, 8syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  x )
31 simp32 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  x )
32 ordelord 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  y )
34 smofvon2 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  x )  e.  On )
35343ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  On )
36 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  e.  On  ->  Ord  ( F `  x ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  ( F `  x
) )
38 simp33 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) )
39 smoel2 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
40393adantr3 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
41403impa 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )
42 ordtr2 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x ) )  ->  ( (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4342imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x
) )  /\  (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
4433, 37, 38, 41, 43syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
45443expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) )  ->  y  e.  ( F `  x ) ) )
46453expd 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  x  ->  ( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
47463impia 1148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) )
4847imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4948ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) ) )
50 dfss3 3183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) )
5149, 50syl6ibr 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5227, 51syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5352com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) )  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5453a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) ) )
5518, 54tfis2 4663 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5612, 55mpcom 32 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) )
57563expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5857com12 27 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
594, 58vtoclga 2862 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C ) ) )
6059com12 27 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  ( C  e.  A  ->  C 
C_  ( F `  C ) ) )
61603impia 1148 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   Ord word 4407   Oncon0 4408    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   Smo wsmo 6378
This theorem is referenced by:  smorndom  6401  oismo  7271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-smo 6379
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