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Theorem smogt 6317
Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smogt  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )

Proof of Theorem smogt
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  x  =  C )
2 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
31, 2sseq12d 3149 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  C  C_  ( F `  C )
) )
43imbi2d 309 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C )
) ) )
5 smodm2 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
653adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  A )
7 simp3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
8 ordelord 4351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
96, 7, 8syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
10 vex 2743 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1110elon 4338 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
129, 11sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
13 eleq1 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
14133anbi3d 1263 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  <->  ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A
) ) )
15 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
16 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1715, 16sseq12d 3149 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  y  C_  ( F `  y ) ) )
1814, 17imbi12d 313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) ) ) )
19 simpl1 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  F  Fn  A )
20 simpl2 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  Smo  F )
21 ordtr1 4372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2221exp3acom23 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
236, 7, 22sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )
2423imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
25 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2619, 20, 24, 25syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2726ralimdva 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y ) ) )
2853adant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  A )
29 simp31 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  x  e.  A )
3028, 29, 8syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  x )
31 simp32 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  x )
32 ordelord 4351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3330, 31, 32syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  y )
34 smofvon2 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  x )  e.  On )
35343ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  On )
36 eloni 4339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  e.  On  ->  Ord  ( F `  x ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  ( F `  x
) )
38 simp33 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) )
39 smoel2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
40393adantr3 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
41403impa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )
42 ordtr2 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x ) )  ->  ( (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4342imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x
) )  /\  (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
4433, 37, 38, 41, 43syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
45443expia 1158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) )  ->  y  e.  ( F `  x ) ) )
46453expd 1173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  x  ->  ( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
47463impia 1153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) )
4847imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4948ralimdva 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) ) )
50 dfss3 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) )
5149, 50syl6ibr 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5227, 51syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5352com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) )  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5453a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) ) )
5518, 54tfis2 4584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5612, 55mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) )
57563expia 1158 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5857com12 29 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
594, 58vtoclga 2800 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C ) ) )
6059com12 29 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  ( C  e.  A  ->  C 
C_  ( F `  C ) ) )
61603impia 1153 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3094   Ord word 4328   Oncon0 4329    Fn wfn 4633   ` cfv 4638   Smo wsmo 6295
This theorem is referenced by:  smorndom  6318  oismo  7188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-fv 4654  df-smo 6296
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