MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smores2 Unicode version

Theorem smores2 6373
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )

Proof of Theorem smores2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 6366 . . . . . . 7  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
21simp1bi 970 . . . . . 6  |-  ( Smo 
F  ->  F : dom  F --> On )
3 ffun 5393 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  Fun 
F )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  Fun  F )
5 funres 5295 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  A ) )
6 funfn 5285 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
75, 6sylib 188 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
84, 7syl 15 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
9 df-ima 4704 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
10 imassrn 5027 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
119, 10eqsstr3i 3211 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  A )  C_  ran  F
12 frn 5397 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  ran 
F  C_  On )
132, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  ran  F  C_  On )
1411, 13syl5ss 3192 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  On )
15 df-f 5261 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  <->  ( ( F  |`  A )  Fn 
dom  ( F  |`  A )  /\  ran  ( F  |`  A ) 
C_  On ) )
168, 14, 15sylanbrc 645 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
1716adantr 451 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
18 smodm 6370 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  Ord  dom  F
)
19 ordin 4424 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( A  i^i  dom  F
) )
20 dmres 4978 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21 ordeq 4401 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom 
F )  ->  ( Ord  dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
) )
2220, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
)
2319, 22sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2423ancoms 439 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2518, 24sylan 457 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
26 resss 4981 . . . . . 6  |-  ( F  |`  A )  C_  F
27 dmss 4880 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F )
2826, 27ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F
291simp3bi 972 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
30 ssralv 3239 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
3128, 29, 30mpsyl 59 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
3231adantr 451 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
33 ordtr1 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  ->  y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
3425, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
35 inss1 3391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
3620, 35eqsstri 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
3736sseli 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  y  e.  A )
3834, 37syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  A ) )
3938exp3acom23 1362 . . . . . . . 8  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) ) )
4039imp31 421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
41 fvres 5544 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4240, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4336sseli 3178 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  x  e.  A )
44 fvres 5544 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4543, 44syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4645ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4742, 46eleq12d 2353 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4847ralbidva 2561 . . . 4  |-  ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4948ralbidva 2561 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x )  <->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
5032, 49mpbird 223 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
51 dfsmo2 6366 . 2  |-  ( Smo  ( F  |`  A )  <-> 
( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  /\  Ord  dom  ( F  |`  A )  /\  A. x  e. 
dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) ) )
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545    i^i cin 3153    C_ wss 3154   Ord word 4393   Oncon0 4394   dom cdm 4691   ran crn 4692    |` cres 4693   "cima 4694   Fun wfun 5251    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257   Smo wsmo 6364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-fv 5265  df-smo 6365
  Copyright terms: Public domain W3C validator