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Theorem smprngopr 26000
Description: A simple ring (one whose only ideals are  0 and  R) is a prime ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
smprngpr.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
smprngpr.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
smprngpr.3  |-  X  =  ran  G
smprngpr.4  |-  Z  =  (GId `  G )
smprngpr.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
smprngopr  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  PrRing )

Proof of Theorem smprngopr
Dummy variables  i 
j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  RingOps )
2 smprngpr.1 . . . . 5  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 smprngpr.4 . . . . 5  |-  Z  =  (GId `  G )
42, 30idl 25973 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  { Z }  e.  ( Idl `  R
) )
543ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  e.  ( Idl `  R ) )
6 smprngpr.2 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 smprngpr.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
8 smprngpr.5 . . . . . . . 8  |-  U  =  (GId `  H )
92, 6, 7, 3, 80rngo 25975 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Z  =  U  <->  X  =  { Z } ) )
10 eqcom 2360 . . . . . . 7  |-  ( U  =  Z  <->  Z  =  U )
11 eqcom 2360 . . . . . . 7  |-  ( { Z }  =  X  <-> 
X  =  { Z } )
129, 10, 113bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U  =  Z  <->  { Z }  =  X ) )
1312necon3bid 2556 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U  =/= 
Z  <->  { Z }  =/=  X ) )
1413biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  { Z }  =/=  X )
15143adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  =/=  X )
16 df-pr 3723 . . . . . . . 8  |-  { { Z } ,  X }  =  ( { { Z } }  u.  { X } )
1716eqeq2i 2368 . . . . . . 7  |-  ( ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X }  <->  ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } ) )
18 eleq2 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
i  e.  ( Idl `  R )  <->  i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) )
19 eleq2 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
j  e.  ( Idl `  R )  <->  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) )
2018, 19anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  /\  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) ) )
21 elun 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( i  e.  { { Z } }  \/  i  e.  { X } ) )
22 elsn 3731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  { { Z } }  <->  i  =  { Z } )
23 elsn 3731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  { X }  <->  i  =  X )
2422, 23orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  { { Z } }  \/  i  e.  { X } )  <-> 
( i  =  { Z }  \/  i  =  X ) )
2521, 24bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )
)
26 elun 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( j  e.  { { Z } }  \/  j  e.  { X } ) )
27 elsn 3731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { { Z } }  <->  j  =  { Z } )
28 elsn 3731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { X }  <->  j  =  X )
2927, 28orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  { { Z } }  \/  j  e.  { X } )  <-> 
( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )
3026, 29bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
)
3125, 30anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  /\  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) )  <->  ( (
i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  (
j  =  { Z }  \/  j  =  X ) ) )
3220, 31syl6bb 252 . . . . . . 7  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
3317, 32sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X }  ->  ( ( i  e.  ( Idl `  R
)  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
34333ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
35 eqimss 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  { Z }  ->  i  C_  { Z } )
3635orcd 381 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  (
i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
3837a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
3938a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
40 eqimss 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  { Z }  ->  j  C_  { Z } )
4140olcd 382 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
4241adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  (
i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
4342a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
4443a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) ) )
4536adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( i  C_ 
{ Z }  \/  j  C_  { Z }
) )
4645a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) )
4746a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) ) )
482rneqi 4984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
497, 48eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
5049, 6, 8rngo1cl 21202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RingOps  ->  U  e.  X
)
5150adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  U  e.  X )
526, 49, 8rngolidm 21197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  e.  X )  ->  ( U H U )  =  U )
5350, 52mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U H U )  =  U )
5453eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  e.  { Z } ) )
55 fvex 5619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (GId `  H )  e.  _V
568, 55eqeltri 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  e. 
_V
5756elsnc 3739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  { Z }  <->  U  =  Z )
5854, 57syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  =  Z ) )
5958necon3bbid 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( -.  ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  =/=  Z ) )
6059biimpar 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  -.  ( U H U )  e.  { Z }
)
61 oveq1 5949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
6261eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  e.  { Z } 
<->  ( U H y )  e.  { Z } ) )
6362notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U  ->  ( -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  -.  ( U H y )  e.  { Z } ) )
64 oveq2 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  U  ->  ( U H y )  =  ( U H U ) )
6564eleq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U  ->  (
( U H y )  e.  { Z } 
<->  ( U H U )  e.  { Z } ) )
6665notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U  ->  ( -.  ( U H y )  e.  { Z } 
<->  -.  ( U H U )  e.  { Z } ) )
6763, 66rspc2ev 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  X  /\  U  e.  X  /\  -.  ( U H U )  e.  { Z } )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  (
x H y )  e.  { Z }
)
6851, 51, 60, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  (
x H y )  e.  { Z }
)
69 rexnal 2630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  X  -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  -.  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } )
7069rexbii 2644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  E. x  e.  X  -.  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } )
71 rexnal 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  X  -.  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z }  <->  -. 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } )
7270, 71bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  -.  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } )
7368, 72sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  -.  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x H y )  e.  { Z }
)
7473pm2.21d 98 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
75 raleq 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  X  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } ) )
76 raleq 2812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  ( A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7776ralbidv 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7875, 77sylan9bb 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7978imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8074, 79syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8139, 44, 47, 80ccased 913 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )  -> 
( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
82813adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )  -> 
( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8334, 82sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8483ralrimivv 2710 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  A. i  e.  ( Idl `  R
) A. j  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) )
852, 6, 7ispridl 25982 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( { Z }  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( { Z }  e.  ( Idl `  R )  /\  { Z }  =/=  X  /\  A. i  e.  ( Idl `  R ) A. j  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) ) )
86853ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  ( { Z }  e.  (
PrIdl `  R )  <->  ( { Z }  e.  ( Idl `  R )  /\  { Z }  =/=  X  /\  A. i  e.  ( Idl `  R ) A. j  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) ) )
875, 15, 84, 86mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  e.  ( PrIdl `  R ) )
882, 3isprrngo 25998 . 2  |-  ( R  e.  PrRing 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  { Z }  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
891, 87, 88sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  PrRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    u. cun 3226    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   ran crn 4769   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   1stc1st 6204   2ndc2nd 6205  GIdcgi 20960   RingOpscrngo 21148   Idlcidl 25955   PrIdlcpridl 25956   PrRingcprrng 25994
This theorem is referenced by:  divrngpr  26001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-grpo 20964  df-gid 20965  df-ginv 20966  df-ablo 21055  df-ass 21086  df-exid 21088  df-mgm 21092  df-sgr 21104  df-mndo 21111  df-rngo 21149  df-idl 25958  df-pridl 25959  df-prrngo 25996
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