Theorem snelpw 2833

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set.

Hypothesis

Ref	Expression
snelpw.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
snelpw	|- (A e. B <-> {A} e. P~B)

Proof of Theorem snelpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelpw.1	. . 3 |- A e. V
2	1	snss 2525	. 2 |- (A e. B <-> {A} (_ B)
3		snex 2826	. . 3 |- {A} e. V
4	3	elpw 2461	. 2 |- ({A} e. P~B <-> {A} (_ B)
5	2, 4	bitr4i 174	1 |- (A e. B <-> {A} e. P~B)

Syntax hints:   <-> wb 144   e. wcel 994  Vcvv 1857   (_ wss 2099  P~cpw 2458  {csn 2467

This theorem is referenced by:  unipw 2836  canth2 4629  abfi 10737  nsn 11017  dtt2 11110  locfindsc 11576  snelpwi 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470

Copyright terms: Public domain