Theorem snfi 4573

Description: A singleton is finite.

Assertion

Ref	Expression
snfi	|- {A} e. Fin

Proof of Theorem snfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 4566	. . . 4 |- (A e. V -> {A} ~~ 1o)
2		1onn 4393	. . . . 5 |- 1o e. om
3		breq2 2696	. . . . . 6 |- (x = 1o -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ 1o))
4	3	rcla4ev 1923	. . . . 5 |- ((1o e. om /\ {A} ~~ 1o) -> E.x e. om {A} ~~ x)
5	2, 4	mpan 699	. . . 4 |- ({A} ~~ 1o -> E.x e. om {A} ~~ x)
6	1, 5	syl 10	. . 3 |- (A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
7		snprc 2504	. . . 4 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
8		en0 4564	. . . . 5 |- ({A} ~~ (/) <-> {A} = (/))
9		peano1 3237	. . . . . 6 |- (/) e. om
10		breq2 2696	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ (/)))
11	10	rcla4ev 1923	. . . . . 6 |- (((/) e. om /\ {A} ~~ (/)) -> E.x e. om {A} ~~ x)
12	9, 11	mpan 699	. . . . 5 |- ({A} ~~ (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
13	8, 12	sylbir 199	. . . 4 |- ({A} = (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
14	7, 13	sylbi 197	. . 3 |- (-. A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
15	6, 14	pm2.61i 124	. 2 |- E.x e. om {A} ~~ x
16		isfi 4523	. 2 |- ({A} e. Fin <-> E.x e. om {A} ~~ x)
17	15, 16	mpbir 188	1 |- {A} e. Fin

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 992   e. wcel 994  E.wrex 1692  Vcvv 1857  (/)c0 2332  {csn 2467   class class class wbr 2692  omcom 3218  1oc1o 4264   ~~ cen 4505  Fincfn 4508

This theorem is referenced by:  fiprc 4574  prfi 4700  abfii3 4706  subbas2 7857  fine 10736  abfi 10737  sinempcomp 11116  bwt2 11123  inficlALT 11424  compfipin0 11493  alexsublem3 11498  locfincomp 11575  comppfsc 11578  ufinffr 11663  indexf 11847  fzfi 11864  heiborlem18 12028  heiborlem38 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-1o 4269  df-en 4509  df-fin 4512

Copyright terms: Public domain