Theorem snfi 4419

Description: A singleton is finite.

Assertion

Ref	Expression
snfi	|- E.x e. om {A} ~~ x

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem snfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensn1g 4412	. . 3 |- (A e. V -> {A} ~~ 1o)
2		1onn 4243	. . . 4 |- 1o e. om
3		breq2 2618	. . . . 5 |- (x = 1o -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ 1o))
4	3	rcla4ev 1873	. . . 4 |- ((1o e. om /\ {A} ~~ 1o) -> E.x e. om {A} ~~ x)
5	2, 4	mpan 694	. . 3 |- ({A} ~~ 1o -> E.x e. om {A} ~~ x)
6	1, 5	syl 10	. 2 |- (A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
7		snprc 2439	. . 3 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
8		en0 4410	. . . 4 |- ({A} ~~ (/) <-> {A} = (/))
9		peano1 3144	. . . . 5 |- (/) e. om
10		breq2 2618	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ({A} ~~ x <-> {A} ~~ (/)))
11	10	rcla4ev 1873	. . . . 5 |- (((/) e. om /\ {A} ~~ (/)) -> E.x e. om {A} ~~ x)
12	9, 11	mpan 694	. . . 4 |- ({A} ~~ (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
13	8, 12	sylbir 201	. . 3 |- ({A} = (/) -> E.x e. om {A} ~~ x)
14	7, 13	sylbi 199	. 2 |- (-. A e. V -> E.x e. om {A} ~~ x)
15	6, 14	pm2.61i 126	1 |- E.x e. om {A} ~~ x

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  Vcvv 1807  (/)c0 2276  {csn 2405   class class class wbr 2614  omcom 3126  1oc1o 4118   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  prfi 4537  abfii3 4543  subbas2 7595  fine 10384  abfi 10385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-1o 4123  df-en 4357

Copyright terms: Public domain