MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snss Unicode version

Theorem snss 3689
Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class. Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)
Hypothesis
Ref Expression
snss.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
snss  |-  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B )

Proof of Theorem snss
StepHypRef Expression
1 elsn 3596 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
21imbi1i 317 . . 3  |-  ( ( x  e.  { A }  ->  x  e.  B
)  <->  ( x  =  A  ->  x  e.  B ) )
32albii 1554 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
{ A }  ->  x  e.  B )  <->  A. x
( x  =  A  ->  x  e.  B
) )
4 dfss2 3111 . 2  |-  ( { A }  C_  B  <->  A. x ( x  e. 
{ A }  ->  x  e.  B ) )
5 snss.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
65clel2 2855 . 2  |-  ( A  e.  B  <->  A. x
( x  =  A  ->  x  e.  B
) )
73, 4, 63bitr4ri 271 1  |-  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   {csn 3581
This theorem is referenced by:  snssg  3695  prss  3710  tpss  3720  snelpw  4159  sspwb  4161  nnullss  4172  exss  4173  pwssun  4236  relsn  4743  fvimacnvi  5538  fvimacnv  5539  fvimacnvALT  5543  fnressn  5604  limensuci  6970  domunfican  7062  finsschain  7095  epfrs  7346  tc2  7360  tcsni  7361  cda1dif  7735  fpwwe2lem13  8197  wunfi  8276  uniwun  8295  un0mulcl  9930  nn0ssz  9976  xrinfmss  10559  hashbclem  11320  hashf1lem1  11323  hashf1lem2  11324  fsum2dlem  12163  fsumabs  12189  fsumrlim  12199  fsumo1  12200  fsumiun  12209  ramcl2  12990  0ram  12994  strfv  13107  imasaddfnlem  13357  imasaddvallem  13358  acsfn1  13490  drsdirfi  13999  sylow2a  14857  gsumpt  15149  dprdfadd  15182  ablfac1eulem  15234  pgpfaclem1  15243  rsp1  15903  mplcoe1  16136  mplcoe2  16138  opnnei  16784  cnpnei  16920  hausnei2  17008  fiuncmp  17058  llycmpkgen2  17172  1stckgen  17176  ptbasfi  17203  xkoccn  17240  xkoptsub  17275  ptcmpfi  17431  tsmsid  17749  prdsdsf  17858  prdsmet  17861  prdsbl  17964  fsumcn  18301  itgfsum  19108  dvmptfsum  19249  elply2  19505  elplyd  19511  ply1term  19513  ply0  19517  plymullem  19525  jensenlem1  20208  jensenlem2  20209  h1de2bi  22058  spansni  22061  cvmlift2lem1  23170  cvmlift2lem12  23182  dfon2lem7  23479  iscnp4  24895  phckle  25359  psckle  25360  smbkle  25375  pgapspf  25384  divrngidl  25985  isfldidl  26025  ispridlc  26027  acsfn1p  26839  pclfinclN  29269  osumcllem10N  29284  pexmidlem7N  29295
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-v 2742  df-in 3101  df-ss 3108  df-sn 3587
  Copyright terms: Public domain W3C validator