MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snssg Unicode version

Theorem snssg 3728
Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class. Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.)
Assertion
Ref Expression
snssg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B ) )

Proof of Theorem snssg
StepHypRef Expression
1 eleq1 2318 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  B  <->  A  e.  B ) )
2 sneq 3625 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
32sseq1d 3180 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( { x }  C_  B 
<->  { A }  C_  B ) )
4 vex 2766 . . 3  |-  x  e. 
_V
54snss 3722 . 2  |-  ( x  e.  B  <->  { x }  C_  B )
61, 3, 5vtoclbg 2819 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3127   {csn 3614
This theorem is referenced by:  snssi  3733  snssd  3734  prssg  3744  fr3nr  4543  fvimacnvALT  5578  vdwapid1  12984  acsfn  13523  cycsubg2  14616  cycsubg2cl  14617  pgpfac1lem1  15271  pgpfac1lem3a  15273  pgpfac1lem3  15274  pgpfac1lem5  15276  pgpfaclem2  15279  lspsnid  15712  lidldvgen  15969  frgpcyg  16489  isneip  16804  elnei  16810  cnpnei  16955  nlly2i  17164  1stckgenlem  17210  flimopn  17632  flimclslem  17641  fclsneii  17674  fcfnei  17692  limcvallem  19183  ellimc2  19189  limcflf  19193  limccnp  19203  limccnp2  19204  limcco  19205  lhop2  19324  plyrem  19647  isppw  20314  h1did  22090  ballotlemfp1  23011  erdszelem8  23101  cnfilca  24923  iscnp4  24930  neibastop2  25677  prnc  26059  proot1mul  26882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-v 2765  df-in 3134  df-ss 3141  df-sn 3620
  Copyright terms: Public domain W3C validator