MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snssg Unicode version

Theorem snssg 3656
Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class. Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.)
Assertion
Ref Expression
snssg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B ) )

Proof of Theorem snssg
StepHypRef Expression
1 eleq1 2313 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  B  <->  A  e.  B ) )
2 sneq 3555 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  { x }  =  { A } )
32sseq1d 3126 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( { x }  C_  B 
<->  { A }  C_  B ) )
4 vex 2730 . . 3  |-  x  e. 
_V
54snss 3652 . 2  |-  ( x  e.  B  <->  { x }  C_  B )
61, 3, 5vtoclbg 2782 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e.  B  <->  { A }  C_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   {csn 3544
This theorem is referenced by:  snssi  3659  snssd  3660  prssg  3670  fr3nr  4462  fvimacnvALT  5496  vdwapid1  12896  acsfn  13405  cycsubg2  14489  cycsubg2cl  14490  pgpfac1lem1  15144  pgpfac1lem3a  15146  pgpfac1lem3  15147  pgpfac1lem5  15149  pgpfaclem2  15152  lspsnid  15585  lidldvgen  15839  frgpcyg  16359  isneip  16674  elnei  16680  cnpnei  16825  nlly2i  17034  1stckgenlem  17080  flimopn  17502  flimclslem  17511  fclsneii  17544  fcfnei  17562  limcvallem  19053  ellimc2  19059  limcflf  19063  limccnp  19073  limccnp2  19074  limcco  19075  lhop2  19194  plyrem  19517  isppw  20184  h1did  21960  erdszelem8  22900  cnfilca  24722  iscnp4  24729  neibastop2  25476  prnc  25858  proot1mul  26681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-v 2729  df-in 3085  df-ss 3089  df-sn 3550
  Copyright terms: Public domain W3C validator