HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  span0 Unicode version

Theorem span0 22046
Description: The span of the empty set is the zero subspace. Remark 11.6.e of [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
span0  |-  ( span `  (/) )  =  0H

Proof of Theorem span0
StepHypRef Expression
1 h0elsh 21760 . . . . 5  |-  0H  e.  SH
21shssii 21717 . . . 4  |-  0H  C_  ~H
3 0ss 3425 . . . 4  |-  (/)  C_  0H
4 spanss 21852 . . . 4  |-  ( ( 0H  C_  ~H  /\  (/)  C_  0H )  ->  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
)
52, 3, 4mp2an 656 . . 3  |-  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
6 spanid 21851 . . . 4  |-  ( 0H  e.  SH  ->  ( span `  0H )  =  0H )
71, 6ax-mp 10 . . 3  |-  ( span `  0H )  =  0H
85, 7sseqtri 3152 . 2  |-  ( span `  (/) )  C_  0H
9 0ss 3425 . . . 4  |-  (/)  C_  ~H
10 spancl 21840 . . . 4  |-  ( (/)  C_ 
~H  ->  ( span `  (/) )  e.  SH )
119, 10ax-mp 10 . . 3  |-  ( span `  (/) )  e.  SH
12 sh0le 21944 . . 3  |-  ( (
span `  (/) )  e.  SH  ->  0H  C_  ( span `  (/) ) )
1311, 12ax-mp 10 . 2  |-  0H  C_  ( span `  (/) )
148, 13eqssi 3137 1  |-  ( span `  (/) )  =  0H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   (/)c0 3397   ` cfv 4638   ~Hchil 21424   SHcsh 21433   spancspn 21437   0Hc0h 21440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-icc 10594  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-topgen 13271  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-lm 16886  df-haus 16970  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ims 21082  df-hnorm 21473  df-hvsub 21476  df-hlim 21477  df-sh 21711  df-ch 21726  df-ch0 21757  df-span 21813
  Copyright terms: Public domain W3C validator