HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  span0 Unicode version

Theorem span0 22434
Description: The span of the empty set is the zero subspace. Remark 11.6.e of [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 3-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
span0  |-  ( span `  (/) )  =  0H

Proof of Theorem span0
StepHypRef Expression
1 h0elsh 22148 . . . . 5  |-  0H  e.  SH
21shssii 22105 . . . 4  |-  0H  C_  ~H
3 0ss 3571 . . . 4  |-  (/)  C_  0H
4 spanss 22240 . . . 4  |-  ( ( 0H  C_  ~H  /\  (/)  C_  0H )  ->  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
)
52, 3, 4mp2an 653 . . 3  |-  ( span `  (/) )  C_  ( span `  0H )
6 spanid 22239 . . . 4  |-  ( 0H  e.  SH  ->  ( span `  0H )  =  0H )
71, 6ax-mp 8 . . 3  |-  ( span `  0H )  =  0H
85, 7sseqtri 3296 . 2  |-  ( span `  (/) )  C_  0H
9 0ss 3571 . . . 4  |-  (/)  C_  ~H
10 spancl 22228 . . . 4  |-  ( (/)  C_ 
~H  ->  ( span `  (/) )  e.  SH )
119, 10ax-mp 8 . . 3  |-  ( span `  (/) )  e.  SH
12 sh0le 22332 . . 3  |-  ( (
span `  (/) )  e.  SH  ->  0H  C_  ( span `  (/) ) )
1311, 12ax-mp 8 . 2  |-  0H  C_  ( span `  (/) )
148, 13eqssi 3281 1  |-  ( span `  (/) )  =  0H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ` cfv 5358   ~Hchil 21812   SHcsh 21821   spancspn 21825   0Hc0h 21828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvmulass 21900  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903  ax-hfi 21971  ax-his1 21974  ax-his2 21975  ax-his3 21976  ax-his4 21977
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-icc 10816  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-lm 17176  df-haus 17260  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-hnorm 21861  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-sh 22099  df-ch 22114  df-ch0 22145  df-span 22201
  Copyright terms: Public domain W3C validator