Theorem spanuni 9743

Description: The span of a union is the subspace sum of spans.

Hypotheses

Ref	Expression
spanun.1	|- A (_ H~
spanun.2	|- B (_ H~

Assertion

Ref	Expression
spanuni	|- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Proof of Theorem spanuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spanun.1	. . . . . . 7 |- A (_ H~
2		spancl 9580	. . . . . . 7 |- (A (_ H~ -> (span` A) e. SH)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` A) e. SH
4		spanun.2	. . . . . . 7 |- B (_ H~
5		spancl 9580	. . . . . . 7 |- (B (_ H~ -> (span` B) e. SH)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (span` B) e. SH
7	3, 6	shscli 9557	. . . . 5 |- ((span` A) +H (span` B)) e. SH
8	7	shssii 9357	. . . 4 |- ((span` A) +H (span` B)) (_ H~
9		spanss2 9590	. . . . . . 7 |- (A (_ H~ -> A (_ (span` A))
10	1, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- A (_ (span` A)
11		spanss2 9590	. . . . . . 7 |- (B (_ H~ -> B (_ (span` B))
12	4, 11	ax-mp 7	. . . . . 6 |- B (_ (span` B)
13		unss12 2254	. . . . . 6 |- ((A (_ (span` A) /\ B (_ (span` B)) -> (A u. B) (_ ((span` A) u. (span` B)))
14	10, 12, 13	mp2an 701	. . . . 5 |- (A u. B) (_ ((span` A) u. (span` B))
15	3, 6	shunssi 9613	. . . . 5 |- ((span` A) u. (span` B)) (_ ((span` A) +H (span` B))
16	14, 15	sstri 2125	. . . 4 |- (A u. B) (_ ((span` A) +H (span` B))
17		spanss 9594	. . . 4 |- ((((span` A) +H (span` B)) (_ H~ /\ (A u. B) (_ ((span` A) +H (span` B))) -> (span` (A u. B)) (_ (span` ((span` A) +H (span` B))))
18	8, 16, 17	mp2an 701	. . 3 |- (span` (A u. B)) (_ (span` ((span` A) +H (span` B)))
19		spanid 9593	. . . 4 |- (((span` A) +H (span` B)) e. SH -> (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B)))
20	7, 19	ax-mp 7	. . 3 |- (span` ((span` A) +H (span` B))) = ((span` A) +H (span` B))
21	18, 20	sseqtri 2145	. 2 |- (span` (A u. B)) (_ ((span` A) +H (span` B))
22	3, 6	shseli 9556	. . . . 5 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +h w))
23		r2ex 1737	. . . . 5 |- (E.z e. (span` A)E.w e. (span` B)x = (z +h w) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)))
24	22, 23	bitri 171	. . . 4 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) <-> E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)))
25		r19.27av 1800	. . . . . . 7 |- ((A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)))
26		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
27	26	elspani 9742	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ H~ -> (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A (_ y -> z e. y)))
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (z e. (span` A) <-> A.y e. SH (A (_ y -> z e. y))
29		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- w e. V
30	29	elspani 9742	. . . . . . . . . 10 |- (B (_ H~ -> (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
31	4, 30	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (w e. (span` B) <-> A.y e. SH (B (_ y -> w e. y))
32	28, 31	anbi12i 485	. . . . . . . 8 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> (A.y e. SH (A (_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
33		r19.26 1796	. . . . . . . 8 |- (A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) <-> (A.y e. SH (A (_ y -> z e. y) /\ A.y e. SH (B (_ y -> w e. y)))
34	32, 33	bitr4i 174	. . . . . . 7 |- ((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) <-> A.y e. SH ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)))
35	25, 34	sylanb 451	. . . . . 6 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)))
36		prth 559	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) -> ((A (_ y /\ B (_ y) -> (z e. y /\ w e. y)))
37		unss 2256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ y /\ B (_ y) <-> (A u. B) (_ y)
38	36, 37	syl5ibr 205	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) -> ((A u. B) (_ y -> (z e. y /\ w e. y)))
39		shaddclOLD 9362	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. SH -> ((z e. y /\ w e. y) -> (z +h w) e. y))
40	38, 39	sylan9r 471	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. SH /\ ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y))) -> ((A u. B) (_ y -> (z +h w) e. y))
41		eleq1 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (z +h w) -> (x e. y <-> (z +h w) e. y))
42	41	biimprd 152	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (z +h w) -> ((z +h w) e. y -> x e. y))
43	40, 42	sylan9 470	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. SH /\ ((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y))) /\ x = (z +h w)) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y))
44	43	exp42 383	. . . . . . . . 9 |- (y e. SH -> ((A (_ y -> z e. y) -> ((B (_ y -> w e. y) -> (x = (z +h w) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y)))))
45	44	imp4c 364	. . . . . . . 8 |- (y e. SH -> ((((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> ((A u. B) (_ y -> x e. y)))
46	45	r19.20i 1750	. . . . . . 7 |- (A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y))
47	1, 4	unssi 2257	. . . . . . . 8 |- (A u. B) (_ H~
48		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- x e. V
49	48	elspani 9742	. . . . . . . 8 |- ((A u. B) (_ H~ -> (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y)))
50	47, 49	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (x e. (span` (A u. B)) <-> A.y e. SH ((A u. B) (_ y -> x e. y))
51	46, 50	sylibr 198	. . . . . 6 |- (A.y e. SH (((A (_ y -> z e. y) /\ (B (_ y -> w e. y)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
52	35, 51	syl 10	. . . . 5 |- (((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
53	52	19.23aivv 1334	. . . 4 |- (E.zE.w((z e. (span` A) /\ w e. (span` B)) /\ x = (z +h w)) -> x e. (span` (A u. B)))
54	24, 53	sylbi 197	. . 3 |- (x e. ((span` A) +H (span` B)) -> x e. (span` (A u. B)))
55	54	ssriv 2121	. 2 |- ((span` A) +H (span` B)) (_ (span` (A u. B))
56	21, 55	eqssi 2130	1 |- (span` (A u. B)) = ((span` A) +H (span` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  A.wral 1691  E.wrex 1692   u. cun 2097   (_ wss 2099  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  H~chil 9063   +h cva 9064  SHcsh 9072   +H cph 9075  spancspn 9076

This theorem is referenced by:  spanun 9744  spanunsni 9778  spansnji 9869

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770  ax-hilex 9144  ax-hfvadd 9145  ax-hvcom 9146  ax-hvass 9147  ax-hv0cl 9148  ax-hvaddid 9149  ax-hfvmul 9150  ax-hvmulid 9151  ax-hvmulass 9152  ax-hvdistr1 9153  ax-hvdistr2 9154  ax-hvmul0 9155  ax-hfi 9222  ax-his1 9225  ax-his2 9226  ax-his3 9227  ax-his4 9228

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-n0 6268  df-z 6304  df-seq1 6673  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-hnorm 9112  df-hvsub 9115  df-hlim 9116  df-sh 9352  df-ch 9368  df-ch0 9401  df-shsum 9549  df-span 9550

Copyright terms: Public domain