Theorem spweu 8641

Description: A supremum is unique.

Hypothesis

Ref	Expression
spwmo.1	|- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))

Assertion

Ref	Expression
spweu	|- ((R e. Poset /\ E.x e. X ph) -> E!x e. X ph)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,X,y

Proof of Theorem spweu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spwmo.1	. . . . 5 |- (ph <-> (A.y e. A yRx /\ A.y e. X (A.z e. A zRy -> xRy)))
2	1	spwmo 8637	. . . 4 |- (R e. Poset -> E*x(x e. X /\ ph))
3	2	anim2i 335	. . 3 |- ((E.x e. X ph /\ R e. Poset) -> (E.x e. X ph /\ E*x(x e. X /\ ph)))
4		reu5 1927	. . 3 |- (E!x e. X ph <-> (E.x e. X ph /\ E*x(x e. X /\ ph)))
5	3, 4	sylibr 200	. 2 |- ((E.x e. X ph /\ R e. Poset) -> E!x e. X ph)
6	5	ancoms 436	1 |- ((R e. Poset /\ E.x e. X ph) -> E!x e. X ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  E*wmo 1381  A.wral 1644  E.wrex 1645  E!wreu 1646   class class class wbr 2616  Posetcps 8616

This theorem is referenced by:  spwcl 8643  spwpr4 8646  spwpr4a 8647

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ps 8622

Copyright terms: Public domain