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Theorem spwpr4 14663
Description: Supremum of an unordered pair. (Contributed by NM, 7-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
spwpr4.1  |-  X  =  dom  R
Assertion
Ref Expression
spwpr4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, R    x, X

Proof of Theorem spwpr4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e.  PosetRel )
2 psrel 14635 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  Rel  R )
3 relelrn 5103 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
42, 3sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  ran  R )
5 spwpr4.1 . . . . . . . 8  |-  X  =  dom  R
65psrn 14641 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  X  =  ran  R )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  X  =  ran  R )
84, 7eleqtrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  A R C )  ->  C  e.  X )
98adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  C  e.  X )
101, 9jca 519 . . 3  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
11103adant3 977 . 2  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )
)
12 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  R  e.  PosetRel )
13 prex 4406 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  _V
145spwval 14657 . . . 4  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  ( iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  (
iota_ y  e.  X
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) ) )
16 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  R  e. 
PosetRel )
17 brrelex 4916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  A R C )  ->  A  e.  _V )
1817ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R C  ->  A  e. 
_V ) )
19 brrelex 4916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  R  /\  B R C )  ->  B  e.  _V )
2019ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( B R C  ->  B  e. 
_V ) )
2118, 20anim12d 547 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
222, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  PosetRel  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) ) )
2322imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  -> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
2423adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
25 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  { A ,  B }
26 biid 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
2726spwpr2 14660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  { A ,  B }  =  { A ,  B } )  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2825, 27mpanl2 663 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )  -> 
( ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
2916, 24, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  (
( A. x  e. 
{ A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
3029riotabidv 6551 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )  =  (
iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
31303adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  =  ( iota_ y  e.  X
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
32 3simpc 956 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
33 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  C  e.  X
)
34 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( A R y  <->  A R C ) )
35 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  ( B R y  <->  B R C ) )
3634, 35anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  (
( A R y  /\  B R y )  <->  ( A R C  /\  B R C ) ) )
37 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  C  ->  (
y R x  <->  C R x ) )
3837imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
3938ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  C  ->  ( A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x )  <->  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )
4036, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  C  ->  (
( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) )  <->  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) ) )
4140rspcev 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
42413impb 1149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
43423adant1l 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
4429rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
45443adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E. y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
4643, 45mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) ) )
4726spweu 14659 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  E. y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4812, 46, 47syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) ) )
4929reubidv 2892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B }
x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B }
z R x  -> 
y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
50493adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( E! y  e.  X  ( A. x  e.  { A ,  B } x R y  /\  A. x  e.  X  ( A. z  e.  { A ,  B } z R x  ->  y R x ) )  <->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) ) )
5148, 50mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )
5240riota2 6572 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  X  /\  E! y  e.  X  ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5333, 51, 52syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( ( ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  <->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C ) )
5432, 53mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( iota_ y  e.  X ( ( A R y  /\  B R y )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  y R x ) ) )  =  C )
5515, 31, 543eqtrd 2472 . 2  |-  ( ( ( R  e.  PosetRel  /\  C  e.  X )  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  ( ( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  ->  ( R  sup w  { A ,  B } )  =  C )
5611, 55syld3an1 1230 1  |-  ( ( R  e.  PosetRel  /\  ( A R C  /\  B R C )  /\  A. x  e.  X  (
( A R x  /\  B R x )  ->  C R x ) )  -> 
( R  sup w  { A ,  B }
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   _Vcvv 2956   {cpr 3815   class class class wbr 4212   dom cdm 4878   ran crn 4879   Rel wrel 4883  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   PosetRelcps 14624    sup w cspw 14626
This theorem is referenced by:  spwpr4c  14664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-ps 14629  df-spw 14631
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