Theorem sq01t 6590

Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1.

Assertion

Ref	Expression
sq01t	|- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Proof of Theorem sq01t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqvalt 6548	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> (A^2) = (A x. A))
2		ax1id 5262	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
3	2	eqcomd 1477	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> A = (A x. 1))
4	1, 3	eqeq12d 1486	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
5	4	adantr 389	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> (A x. A) = (A x. 1)))
6		ax1cn 5249	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
7		mulcant 5669	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
8	6, 7	mp3anl3 910	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CC /\ A e. CC) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
9	8	anabsan 504	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A x. A) = (A x. 1) <-> A = 1))
10	5, 9	bitrd 527	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A <-> A = 1))
11	10	biimpd 153	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((A^2) = A -> A = 1))
12	11	ex 373	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> ((A^2) = A -> A = 1)))
13	12	com23 32	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A =/= 0 -> A = 1)))
14	13	imp 350	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A =/= 0 -> A = 1))
15		df-ne 1584	. . . . 5 |- (A =/= 0 <-> -. A = 0)
16	14, 15	syl5ibr 207	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (-. A = 0 -> A = 1))
17	16	orrd 233	. . 3 |- ((A e. CC /\ (A^2) = A) -> (A = 0 \/ A = 1))
18	17	ex 373	. 2 |- (A e. CC -> ((A^2) = A -> (A = 0 \/ A = 1)))
19		sq0 6574	. . . 4 |- (0^2) = 0
20		opreq1 3959	. . . 4 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
21		id 59	. . . 4 |- (A = 0 -> A = 0)
22	19, 20, 21	3eqtr4a 1529	. . 3 |- (A = 0 -> (A^2) = A)
23		sq1 6576	. . . 4 |- (1^2) = 1
24		opreq1 3959	. . . 4 |- (A = 1 -> (A^2) = (1^2))
25		id 59	. . . 4 |- (A = 1 -> A = 1)
26	23, 24, 25	3eqtr4a 1529	. . 3 |- (A = 1 -> (A^2) = A)
27	22, 26	jaoi 341	. 2 |- ((A = 0 \/ A = 1) -> (A^2) = A)
28	18, 27	impbid1 516	1 |- (A e. CC -> ((A^2) = A <-> (A = 0 \/ A = 1)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   x. cmul 5219  2c2 5916  ^cexp 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain