Theorem sqabsaddt 6783

Description: Square of absolute value of sum. Proposition 10-3.7(g) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
sqabsaddt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Proof of Theorem sqabsaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjaddt 6747	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A + B)) = ((*` A) + (*` B)))
2	1	opreq2d 3961	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. (*` (A + B))) = ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))))
3		cjclt 6696	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
4		cjclt 6696	. . . . 5 |- (B e. CC -> (*` B) e. CC)
5	3, 4	anim12i 333	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC))
6		muladdt 5393	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC)) -> ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
7	5, 6	mpdan 702	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. ((*` A) + (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
8	2, 7	eqtrd 1499	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A + B) x. (*` (A + B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
9		axaddcl 5243	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
10		absvalsqt 6770	. . 3 |- ((A + B) e. CC -> ((abs` (A + B))^2) = ((A + B) x. (*` (A + B))))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((A + B) x. (*` (A + B))))
12		absvalsqt 6770	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` A)^2) = (A x. (*` A)))
13		absvalsqt 6770	. . . . 5 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = (B x. (*` B)))
14		axmulcom 5248	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
15	4, 14	mpdan 702	. . . . 5 |- (B e. CC -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
16	13, 15	eqtrd 1499	. . . 4 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = ((*` B) x. B))
17	12, 16	opreqan12d 3964	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) = ((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)))
18		axmulcl 5245	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
19	18, 4	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
20		addcjt 6750	. . . . 5 |- ((A x. (*` B)) e. CC -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
21	19, 20	syl 10	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
22		cjmult 6748	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
23	22, 4	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
24		cjcjt 6746	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (*` (*` B)) = B)
25	24	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (*` B)) = B)
26	25	opreq2d 3961	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) x. (*` (*` B))) = ((*` A) x. B))
27	23, 26	eqtrd 1499	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. B))
28	27	opreq2d 3961	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
29	21, 28	eqtr3d 1501	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
30	17, 29	opreq12d 3963	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) + ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
31	8, 11, 30	3eqtr4d 1509	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A + B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) + (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   + caddc 5209   x. cmul 5211  2c2 5908  ^cexp 6500  Recre 6678  *ccj 6680  abscabs 6681

This theorem is referenced by:  sqabsadd 6785  cnph 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685

Copyright terms: Public domain