Theorem sqabssubt 6792

Description: Square of absolute value of difference.

Assertion

Ref	Expression
sqabssubt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) - (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Proof of Theorem sqabssubt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjsubt 6759	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A - B)) = ((*` A) - (*` B)))
2	1	opreq2d 3967	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - B) x. (*` (A - B))) = ((A - B) x. ((*` A) - (*` B))))
3		cjclt 6704	. . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
4		cjclt 6704	. . . . 5 |- (B e. CC -> (*` B) e. CC)
5	3, 4	anim12i 333	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC))
6		mulsubt 5457	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. CC) /\ ((*` A) e. CC /\ (*` B) e. CC)) -> ((A - B) x. ((*` A) - (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) - ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
7	5, 6	mpdan 703	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - B) x. ((*` A) - (*` B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) - ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
8	2, 7	eqtrd 1504	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - B) x. (*` (A - B))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) - ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
9		subclt 5347	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) e. CC)
10		absvalsqt 6778	. . 3 |- ((A - B) e. CC -> ((abs` (A - B))^2) = ((A - B) x. (*` (A - B))))
11	9, 10	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - B))^2) = ((A - B) x. (*` (A - B))))
12		absvalsqt 6778	. . . 4 |- (A e. CC -> ((abs` A)^2) = (A x. (*` A)))
13		absvalsqt 6778	. . . . 5 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = (B x. (*` B)))
14		axmulcom 5256	. . . . . 6 |- ((B e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
15	4, 14	mpdan 703	. . . . 5 |- (B e. CC -> (B x. (*` B)) = ((*` B) x. B))
16	13, 15	eqtrd 1504	. . . 4 |- (B e. CC -> ((abs` B)^2) = ((*` B) x. B))
17	12, 16	opreqan12d 3970	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) = ((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)))
18		axmulcl 5253	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
19	18, 4	sylan2 451	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. (*` B)) e. CC)
20		addcjt 6758	. . . . 5 |- ((A x. (*` B)) e. CC -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
21	19, 20	syl 10	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = (2 x. (Re` (A x. (*` B)))))
22		cjmult 6756	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (*` B) e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
23	22, 4	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. (*` (*` B))))
24		cjcjt 6754	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (*` (*` B)) = B)
25	24	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (*` B)) = B)
26	25	opreq2d 3967	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((*` A) x. (*` (*` B))) = ((*` A) x. B))
27	23, 26	eqtrd 1504	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (*` (A x. (*` B))) = ((*` A) x. B))
28	27	opreq2d 3967	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. (*` B)) + (*` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
29	21, 28	eqtr3d 1506	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. (Re` (A x. (*` B)))) = ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B)))
30	17, 29	opreq12d 3969	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) - (2 x. (Re` (A x. (*` B))))) = (((A x. (*` A)) + ((*` B) x. B)) - ((A x. (*` B)) + ((*` A) x. B))))
31	8, 11, 30	3eqtr4d 1514	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((abs` (A - B))^2) = ((((abs` A)^2) + ((abs` B)^2)) - (2 x. (Re` (A x. (*` B))))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272  2c2 5916  ^cexp 6508  Recre 6686  *ccj 6688  abscabs 6689

This theorem is referenced by:  sqabssub 6794  cnph 8422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain