Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqdivzi Unicode version

Theorem sqdivzi 23415
Description: Distribution of square over division. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqdivzi.1  |-  A  e.  CC
sqdivzi.2  |-  B  e.  CC
Assertion
Ref Expression
sqdivzi  |-  ( B  =/=  0  ->  (
( A  /  B
) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem sqdivzi
StepHypRef Expression
1 oveq2 5765 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  -> 
( A  /  B
)  =  ( A  /  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ) )
21oveq1d 5772 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A  /  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ) ^ 2 ) )
3 oveq1 5764 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ^ 2 ) )
43oveq2d 5773 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
( if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ^
2 ) ) )
52, 4eqeq12d 2270 . 2  |-  ( B  =  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( ( A  /  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
( if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ^
2 ) ) ) )
6 sqdivzi.1 . . 3  |-  A  e.  CC
7 sqdivzi.2 . . . 4  |-  B  e.  CC
8 ax-1cn 8728 . . . 4  |-  1  e.  CC
97, 8keepel 3563 . . 3  |-  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  e.  CC
10 elimne0 8762 . . 3  |-  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 )  =/=  0
116, 9, 10sqdivi 11119 . 2  |-  ( ( A  /  if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
( if ( B  =/=  0 ,  B ,  1 ) ^
2 ) )
125, 11dedth 3547 1  |-  ( B  =/=  0  ->  (
( A  /  B
) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   ifcif 3506  (class class class)co 5757   CCcc 8668   0cc0 8670   1c1 8671    / cdiv 9356   2c2 9728   ^cexp 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-seq 10978  df-exp 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator