MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Unicode version

Theorem sqeqor 11211
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 5826 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 ) )
21eqeq1d 2292 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
3 eqeq1 2290 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  B  <-> 
if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  B ) )
4 eqeq1 2290 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  -u B 
<->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u B ) )
53, 4orbi12d 692 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  =  B  \/  A  = 
-u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) )
62, 5bibi12d 314 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) ) )
7 oveq1 5826 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 ) )
87eqeq2d 2295 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 ) ) )
9 eqeq2 2293 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  <->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
10 negeq 9039 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  ->  -u B  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )
1110eqeq2d 2295 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  = 
-u B  <->  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
129, 11orbi12d 692 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
138, 12bibi12d 314 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ) )
14 0cn 8826 . . . 4  |-  0  e.  CC
1514elimel 3618 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1614elimel 3618 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1715, 16sqeqori 11209 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
186, 13, 17dedth2h 3608 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3566  (class class class)co 5819   CCcc 8730   0cc0 8732   -ucneg 9033   2c2 9790   ^cexp 11098
This theorem is referenced by:  sqeqd  11645  sqrmo  11731  eqsqror  11844  4sqlem10  12988  cxpsqr  20044  quad2  20129  atandm3  20168  atans2  20221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-seq 11041  df-exp 11099
  Copyright terms: Public domain W3C validator