MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Unicode version

Theorem sqeqor 11169
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 5785 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 ) )
21eqeq1d 2264 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
3 eqeq1 2262 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  B  <-> 
if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  B ) )
4 eqeq1 2262 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  -u B 
<->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u B ) )
53, 4orbi12d 693 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  =  B  \/  A  = 
-u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) )
62, 5bibi12d 314 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) ) )
7 oveq1 5785 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 ) )
87eqeq2d 2267 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 ) ) )
9 eqeq2 2265 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  <->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
10 negeq 8998 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  ->  -u B  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )
1110eqeq2d 2267 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  = 
-u B  <->  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
129, 11orbi12d 693 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
138, 12bibi12d 314 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ) )
14 0cn 8785 . . . 4  |-  0  e.  CC
1514elimel 3577 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1614elimel 3577 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1715, 16sqeqori 11167 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
186, 13, 17dedth2h 3567 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3525  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691   -ucneg 8992   2c2 9749   ^cexp 11056
This theorem is referenced by:  sqeqd  11602  sqrmo  11688  eqsqror  11801  4sqlem10  12942  cxpsqr  19998  quad2  20083  atandm3  20122  atans2  20175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-seq 10999  df-exp 11057
  Copyright terms: Public domain W3C validator