MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqor Unicode version

Theorem sqeqor 11095
Description: The squares of two complex numbers are equal iff one number equals the other or its negative. Lemma 15-4.7 of [Gleason] p. 311 and its converse. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqeqor  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )

Proof of Theorem sqeqor
StepHypRef Expression
1 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 ) )
21eqeq1d 2261 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
3 eqeq1 2259 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  B  <-> 
if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  B ) )
4 eqeq1 2259 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  =  -u B 
<->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u B ) )
53, 4orbi12d 693 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  =  B  \/  A  = 
-u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) )
62, 5bibi12d 314 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) ) ) )
7 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 ) )
87eqeq2d 2264 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 ) ) )
9 eqeq2 2262 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  <->  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
10 negeq 8924 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  ->  -u B  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) )
1110eqeq2d 2264 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  = 
-u B  <->  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
129, 11orbi12d 693 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )
138, 12bibi12d 314 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  B  \/  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  -u B ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^
2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ) )
14 0cn 8711 . . . 4  |-  0  e.  CC
1514elimel 3522 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1614elimel 3522 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
1715, 16sqeqori 11093 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 )  <->  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  \/  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  =  -u if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
186, 13, 17dedth2h 3512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3470  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617   -ucneg 8918   2c2 9675   ^cexp 10982
This theorem is referenced by:  sqeqd  11528  sqrmo  11614  eqsqror  11727  4sqlem10  12868  cxpsqr  19918  quad2  19967  atandm3  20006  atans2  20059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-seq 10925  df-exp 10983
  Copyright terms: Public domain W3C validator