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Theorem sqff1o 20967
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 
N to the powerset of the prime divisors of  N. Among other things, this implies that a number has  2 ^ k squarefree divisors where  k is the number of prime divisors, and a squarefree number has  2 ^ k divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to  F takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
sqff1o.2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
sqff1o.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqff1o  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Distinct variable groups:    n, p, x, G    n, N, p, x    S, n, p
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x, n, p)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables  k 
q  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
2 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
mmu `  x )  =  ( mmu `  n ) )
32neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( mmu `  x
)  =/=  0  <->  (
mmu `  n )  =/=  0 ) )
4 breq1 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  N  <->  n  ||  N
) )
53, 4anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
75, 6elrab2 3096 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
87simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  /\  n  ||  N ) )
98simprd 451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  S  ->  n  ||  N )
109ad2antlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  ||  N
)
11 prmz 13085 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1211adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
13 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  S
)
1413, 7sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
1514simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
1615nnzd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
17 nnz 10305 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1817ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
19 dvdstr 12885 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( p  ||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N ) )
2110, 20mpan2d 657 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  n  ->  p  ||  N
) )
2221ss2rabdv 3426 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
23 nnex 10008 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
24 prmnn 13084 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
2524ssriv 3354 . . . . . 6  |-  Prime  C_  NN
2623, 25ssexi 4350 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
2726rabex 4356 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  _V
2827elpw 3807 . . 3  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
2922, 28sylibr 205 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
30 1nn0 10239 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 0nn0 10238 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
3230, 31keepel 3798 . . . . . . . . 9  |-  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
3332rgenw 2775 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e. 
NN0
34 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
3534fmpt 5892 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0  <->  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
3633, 35mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
38 nn0ex 10229 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
3938, 26elmap 7044 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  <->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
4037, 39sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime ) )
41 fzfi 11313 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
42 ffn 5593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0  ->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime )
43 elpreima 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime  ->  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) 
<->  ( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) ) )
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  <-> 
( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) )
45 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4645ifbid 3759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
4730, 31keepel 3798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
4847elexi 2967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
4946, 34, 48fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN  <->  if (
x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN ) )
5150biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5244, 51sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
53 0nnn 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  e.  NN
54 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
5554eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  z  -> 
( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5653, 55mtbiri 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  z  ->  -.  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5756con4i 125 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  e.  z )
5852, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  x  e.  z )
5958ssriv 3354 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  C_  z
60 elpwi 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  ->  z  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
6160adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
62 rabss2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prime  C_  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N } )
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N }
64 sgmss 20891 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6564adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6663, 65syl5ss 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6761, 66sstrd 3360 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_  ( 1 ... N
) )
6859, 67syl5ss 3361 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )
69 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
7041, 68, 69sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
71 cnveq 5048 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  `' y  =  `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
7271imaeq1d 5204 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( `' y
" NN )  =  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
7372eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( ( `' y " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
7473elrab 3094 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  <->  ( (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
7540, 70, 74sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
76 sqff1o.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
77 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
7876, 771arith 13297 . . . . . 6  |-  G : NN
-1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
79 f1ocnv 5689 . . . . . 6  |-  ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } -1-1-onto-> NN )
80 f1of 5676 . . . . . 6  |-  ( `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } -1-1-onto-> NN  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN )
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5  |-  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN
8281ffvelrni 5871 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
8375, 82syl 16 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
84 f1ocnvfv2 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
8578, 75, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
86761arithlem1 13293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8783, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8885, 87eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8988fveq1d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q
)  =  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q ) )
90 elequ1 1729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  q  ->  (
k  e.  z  <->  q  e.  z ) )
9190ifbid 3759 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  q  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9230, 31keepel 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
9392elexi 2967 . . . . . . . . . 10  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
9491, 34, 93fvmpt 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9589, 94sylan9req 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
96 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
97 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
98 ovex 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( q 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  e.  _V
9996, 97, 98fvmpt 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10099adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10195, 100eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
102 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
103 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
104 1le1 9652 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
105 0le1 9553 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
106102, 103, 104, 105keephyp 3795 . . . . . . 7  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1
107101, 106syl6eqbrr 4252 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
108107ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
109 issqf 20921 . . . . . 6  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
11083, 109syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
111108, 110mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0
)
112 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
113112adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
11461sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
115 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
p  ||  N  <->  q  ||  N ) )
116115elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } 
<->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
117114, 116sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
118117simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  ||  N )
119117simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  Prime )
120 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  N  e.  NN )
121 pcelnn 13245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  N
)  e.  NN  <->  q  ||  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( (
q  pCnt  N )  e.  NN  <->  q  ||  N
) )
123118, 122mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  pCnt  N )  e.  NN )
124123nnge1d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  1  <_  ( q  pCnt  N )
)
125113, 124eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) )
126125ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
127126adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  e.  z  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
128 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  q  e.  Prime )
12917ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
130 pcge0 13237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( q  pCnt  N
) )
131128, 129, 130syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  0  <_  (
q  pCnt  N )
)
132 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
133132breq1d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
)  <->  0  <_  (
q  pCnt  N )
) )
134131, 133syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
135127, 134pm2.61d 153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
136101, 135eqbrtrrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
137136ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
13883nnzd 10376 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ )
13917adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
140 pc2dvds 13254 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
141138, 139, 140syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
142137, 141mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
)
143111, 142jca 520 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
144 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( mmu `  x
)  =  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
145144neeq1d 2616 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( mmu `  x )  =/=  0  <->  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0 ) )
146 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( x  ||  N  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
147145, 146anbi12d 693 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
148147, 6elrab2 3096 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S  <->  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
14983, 143, 148sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S
)
150 eqcom 2440 . . 3  |-  ( n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n )
1517simplbi 448 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  n  e.  NN )
152151ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  n  e.  NN )
15326mptex 5968 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
15476fvmpt2 5814 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) )
155152, 153, 154sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( G `  n )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
156155eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )
15778a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } )
15875adantrl 698 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
159 f1ocnvfvb 6019 . . . . 5  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  n  e.  NN  /\  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( G `
 n )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
160157, 152, 158, 159syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
16126a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  Prime  e. 
_V )
162 0cn 9086 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
163162a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  e.  CC )
164 ax-1cn 9050 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  1  e.  CC )
166 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
167166necomi 2688 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
168167a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  =/=  1 )
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 7214 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( z  e.  ~P Prime  /\  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
170 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  Prime
171 sspwb 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  Prime  <->  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_ 
~P Prime )
172170, 171mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  ~P Prime
173 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
174172, 173sseldi 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P Prime )
175174biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( z  e. 
~P Prime  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
176 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
177151adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  n  e.  NN )
178 pccl 13225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN0 )
179176, 177, 178syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  NN0 )
180 elnn0 10225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
181179, 180sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
182181orcomd 379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  e.  NN ) )
1838simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  S  ->  (
mmu `  n )  =/=  0 )
184183adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( mmu `  n
)  =/=  0 )
185 issqf 20921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  n )  <_  1
) )
186177, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( ( mmu `  n )  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  n )  <_  1 ) )
187184, 186mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
188187r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
189 nnle1eq1 10030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN  ->  ( (
p  pCnt  n )  <_  1  <->  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
190188, 189syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  ->  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) )
191190orim2d 815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( ( p  pCnt  n )  =  0  \/  (
p  pCnt  n )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  =  0  \/  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) ) )
192182, 191mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
193 ovex 6108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p 
pCnt  n )  e.  _V
194193elpr 3834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
195192, 194sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 } )
196 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )
197195, 196fmptd 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
198197adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
199 prex 4408 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
200199, 26elmap 7044 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  <-> 
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
201198, 200sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime ) )
202201biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
203169, 175, 2023bitr4d 278 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) )
204196mptiniseg 5366 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 } )
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 }
206 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  =  1 )
207 1nn 10013 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
208206, 207syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN )
209208, 190impbid2 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
( p  pCnt  n
)  e.  NN ) )
210 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
211 pcelnn 13245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  e.  NN  <->  p  ||  n
) )
212210, 15, 211syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  <->  p 
||  n ) )
213209, 212bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
p  ||  n )
)
214213rabbidva 2949 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n
)  =  1 }  =  { p  e. 
Prime  |  p  ||  n } )
215214adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p 
pCnt  n )  =  1 }  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n } )
216205, 215syl5eq 2482 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } )  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
217216eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
218203, 217bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
219156, 160, 2183bitr3d 276 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
220150, 219syl5bb 250 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
2211, 29, 149, 220f1o2d 6298 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   `'ccnv 4879   "cima 4883    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    <_ cle 9123   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ...cfz 11045    || cdivides 12854   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212   mmucmu 20879
This theorem is referenced by:  musum  20978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-mu 20885
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