MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Unicode version

Theorem sqff1o 20420
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 
N to the powerset of the prime divisors of  N. Among other things, this implies that a number has  2 ^ k squarefree divisors where  k is the number of prime divisors, and a squarefree number has  2 ^ k divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to  F takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
sqff1o.2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
sqff1o.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
Assertion
Ref Expression
sqff1o  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Distinct variable groups:    n, p, x, G    n, N, p, x    S, n, p
Allowed substitution hints:    S( x)    F( x, n, p)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables  k 
q  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2  |-  F  =  ( n  e.  S  |->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
2 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  n  ->  (
mmu `  x )  =  ( mmu `  n ) )
32neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
( mmu `  x
)  =/=  0  <->  (
mmu `  n )  =/=  0 ) )
4 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  N  <->  n  ||  N
) )
53, 4anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9  |-  S  =  { x  e.  NN  |  ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N ) }
75, 6elrab2 2925 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  S  <->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
87simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  /\  n  ||  N ) )
98simprd 449 . . . . . 6  |-  ( n  e.  S  ->  n  ||  N )
109ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  ||  N
)
11 prmz 12762 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
1211adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
13 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  S
)
1413, 7sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( ( mmu `  n )  =/=  0  /\  n  ||  N ) ) )
1514simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  NN )
1615nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  n  e.  ZZ )
17 nnz 10045 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
1817ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
19 dvdstr 12562 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( p  ||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N
) )
2012, 16, 18, 19syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
||  n  /\  n  ||  N )  ->  p  ||  N ) )
2110, 20mpan2d 655 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  n  ->  p  ||  N
) )
2221ss2rabdv 3254 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
23 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
24 prmnn 12761 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
2524ssriv 3184 . . . . . 6  |-  Prime  C_  NN
2623, 25ssexi 4159 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
2726rabex 4165 . . . 4  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  _V
2827elpw 3631 . . 3  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  <->  { p  e.  Prime  |  p 
||  n }  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
2922, 28sylibr 203 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
30 1nn0 9981 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 0nn0 9980 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
3230, 31keepel 3622 . . . . . . . . 9  |-  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
3332rgenw 2610 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e. 
NN0
34 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
3534fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  Prime  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0  <->  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
3633, 35mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
38 nn0ex 9971 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
3938, 26elmap 6796 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  <->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0 )
4037, 39sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime ) )
41 fzfi 11034 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
42 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) : Prime --> NN0  ->  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime )
43 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  Fn  Prime  ->  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) 
<->  ( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) ) )
4436, 42, 43mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  <-> 
( x  e.  Prime  /\  ( ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `
 x )  e.  NN ) )
45 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  x  ->  (
k  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4645ifbid 3583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  x  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
4730, 31keepel 3622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
4847elexi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
4946, 34, 48fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 ) )
5049eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN  <->  if (
x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN ) )
5150biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  x
)  e.  NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5244, 51sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
53 0nnn 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  e.  NN
54 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
5554eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  x  e.  z  -> 
( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5653, 55mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  z  ->  -.  if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN )
5756con4i 122 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( x  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN  ->  x  e.  z )
5852, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  ->  x  e.  z )
5958ssriv 3184 . . . . . . 7  |-  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  C_  z
60 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  ->  z  C_  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
6160adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_ 
{ p  e.  Prime  |  p  ||  N }
)
62 rabss2 3256 . . . . . . . . . 10  |-  ( Prime  C_  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N } )
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  N }
64 sgmss 20344 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6663, 65syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
6761, 66sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  z  C_  ( 1 ... N
) )
6859, 67syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )
69 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  C_  ( 1 ... N
) )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
7041, 68, 69sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
71 cnveq 4855 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  `' y  =  `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
7271imaeq1d 5011 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( `' y
" NN )  =  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
7372eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  ->  ( ( `' y " NN )  e.  Fin  <->  ( `' ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) " NN )  e.  Fin )
)
7473elrab 2923 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  <->  ( (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  ( NN0 
^m  Prime )  /\  ( `' ( k  e. 
Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) )
7540, 70, 74sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
76 sqff1o.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
77 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  =  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
7876, 771arith 12974 . . . . . 6  |-  G : NN
-1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }
79 f1ocnv 5485 . . . . . 6  |-  ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } -1-1-onto-> NN )
80 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } -1-1-onto-> NN  ->  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN )
8178, 79, 80mp2b 9 . . . . 5  |-  `' G : { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } --> NN
8281ffvelrni 5664 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin }  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
8375, 82syl 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN )
84 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
8578, 75, 84sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )
86761arithlem1 12970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8783, 86syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( G `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8885, 87eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) )
8988fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q
)  =  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q ) )
90 elequ1 1687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  q  ->  (
k  e.  z  <->  q  e.  z ) )
9190ifbid 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  q  ->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9230, 31keepel 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  NN0
9392elexi 2797 . . . . . . . . . 10  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  e.  _V
9491, 34, 93fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
9589, 94sylan9req 2336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 ) )
96 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
97 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
98 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( q 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  e.  _V
9996, 97, 98fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10099adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) ) `  q )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
10195, 100eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
102 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
103 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  <_  1  <->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1 ) )
104 1le1 9396 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
105 0le1 9297 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
106102, 103, 104, 105keephyp 3619 . . . . . . 7  |-  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  1
107101, 106syl6eqbrr 4061 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
108107ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
1 )
109 issqf 20374 . . . . . 6  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  ->  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
11083, 109syl 15 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  <->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  1
) )
111108, 110mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0
)
112 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  1 )
11461sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  { p  e.  Prime  |  p 
||  N } )
115 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
p  ||  N  <->  q  ||  N ) )
116115elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } 
<->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
117114, 116sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  N ) )
118117simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  ||  N )
119117simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  q  e.  Prime )
120 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  N  e.  NN )
121 pcelnn 12922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( q  pCnt  N
)  e.  NN  <->  q  ||  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( (
q  pCnt  N )  e.  NN  <->  q  ||  N
) )
123118, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  ( q  pCnt  N )  e.  NN )
124123nnge1d 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  1  <_  ( q  pCnt  N )
)
125113, 124eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  z )  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) )
126125ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
127126adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  e.  z  ->  if (
q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
128 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  q  e.  Prime )
12917ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
130 pcge0 12914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( q  pCnt  N
) )
131128, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  0  <_  (
q  pCnt  N )
)
132 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  =  0 )
133132breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  q  e.  z  -> 
( if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
)  <->  0  <_  (
q  pCnt  N )
) )
134131, 133syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( -.  q  e.  z  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_  ( q  pCnt  N ) ) )
135127, 134pm2.61d 150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  if ( q  e.  z ,  1 ,  0 )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
136101, 135eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N } )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
137136ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_ 
( q  pCnt  N
) )
13883nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ )
13917adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  N  e.  ZZ )
140 pc2dvds 12931 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
141138, 139, 140syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N 
<-> 
A. q  e.  Prime  ( q  pCnt  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  <_  (
q  pCnt  N )
) )
142137, 141mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
)
143111, 142jca 518 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  (
( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
144 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( mmu `  x
)  =  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
145144neeq1d 2459 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( mmu `  x )  =/=  0  <->  ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0 ) )
146 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( x  ||  N  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) )
147145, 146anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  -> 
( ( ( mmu `  x )  =/=  0  /\  x  ||  N )  <-> 
( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
148147, 6elrab2 2925 . . 3  |-  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S  <->  ( ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( mmu `  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )  =/=  0  /\  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  ||  N
) ) )
14983, 143, 148sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N } )  ->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  e.  S
)
150 eqcom 2285 . . 3  |-  ( n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n )
1517simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  S  ->  n  e.  NN )
152151ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  n  e.  NN )
15326mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e. 
_V
15476fvmpt2 5608 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) )
155152, 153, 154sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( G `  n )  =  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) )
156155eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) )
15778a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin } )
15875adantrl 696 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )
159 f1ocnvfvb 5795 . . . . 5  |-  ( ( G : NN -1-1-onto-> { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y
" NN )  e. 
Fin }  /\  n  e.  NN  /\  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  e.  { y  e.  ( NN0  ^m  Prime )  |  ( `' y " NN )  e.  Fin } )  ->  ( ( G `
 n )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
160157, 152, 158, 159syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( G `  n
)  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n ) )
16126a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  Prime  e. 
_V )
162 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
163162a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  e.  CC )
164 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
165164a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  1  e.  CC )
166 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
167166necomi 2528 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
168167a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  0  =/=  1 )
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 6966 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( z  e.  ~P Prime  /\  ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
170 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_  Prime
171 sspwb 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( { p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  Prime  <->  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }  C_ 
~P Prime )
172170, 171mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ~P {
p  e.  Prime  |  p 
||  N }  C_  ~P Prime
173 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
174172, 173sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  z  e.  ~P Prime )
175174biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  ( z  e. 
~P Prime  /\  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) ) ) )
176 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
177151adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  n  e.  NN )
178 pccl 12902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN0 )
179176, 177, 178syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  NN0 )
180 elnn0 9967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN0  <->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
181179, 180sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  \/  ( p  pCnt  n
)  =  0 ) )
182181orcomd 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  e.  NN ) )
1838simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  S  ->  (
mmu `  n )  =/=  0 )
184183adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( mmu `  n
)  =/=  0 )
185 issqf 20374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( mmu `  n
)  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  n )  <_  1
) )
186177, 185syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( ( mmu `  n )  =/=  0  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  n )  <_  1 ) )
187184, 186mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
188187r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  <_  1 )
189 nnle1eq1 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  NN  ->  ( (
p  pCnt  n )  <_  1  <->  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
190188, 189syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  ->  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) )
191190orim2d 813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( ( p  pCnt  n )  =  0  \/  (
p  pCnt  n )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  =  0  \/  ( p  pCnt  n
)  =  1 ) ) )
192182, 191mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
193 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p 
pCnt  n )  e.  _V
194193elpr 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( ( p 
pCnt  n )  =  0  \/  ( p  pCnt  n )  =  1 ) )
195192, 194sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  n )  e.  { 0 ,  1 } )
196 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  =  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )
197195, 196fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
198197adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
199 prex 4217 . . . . . . . . 9  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
200199, 26elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  <-> 
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) : Prime --> { 0 ,  1 } )
201198, 200sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime ) )
202201biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  ( (
p  e.  Prime  |->  ( p 
pCnt  n ) )  e.  ( { 0 ,  1 }  ^m  Prime )  /\  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) ) )
203169, 175, 2023bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } ) ) )
204196mptiniseg 5167 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 } )
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  =  {
p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n )  =  1 }
206 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  =  1 )
207 1nn 9757 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
208206, 207syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  pCnt  n )  =  1  ->  (
p  pCnt  n )  e.  NN )
209208, 190impbid2 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
( p  pCnt  n
)  e.  NN ) )
210 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
211 pcelnn 12922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  n
)  e.  NN  <->  p  ||  n
) )
212210, 15, 211syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  e.  NN  <->  p 
||  n ) )
213209, 212bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  n )  =  1  <-> 
p  ||  n )
)
214213rabbidva 2779 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  S )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p  pCnt  n
)  =  1 }  =  { p  e. 
Prime  |  p  ||  n } )
215214adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  { p  e.  Prime  |  ( p 
pCnt  n )  =  1 }  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n } )
216205, 215syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  ( `' ( p  e. 
Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " {
1 } )  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
)
217216eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
z  =  ( `' ( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) ) " { 1 } )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
218203, 217bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( p  e.  Prime  |->  ( p  pCnt  n ) )  =  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) )  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
219156, 160, 2183bitr3d 274 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  =  n  <->  z  =  {
p  e.  Prime  |  p 
||  n } ) )
220150, 219syl5bb 248 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( n  e.  S  /\  z  e.  ~P { p  e.  Prime  |  p  ||  N }
) )  ->  (
n  =  ( `' G `  ( k  e.  Prime  |->  if ( k  e.  z ,  1 ,  0 ) ) )  <->  z  =  { p  e.  Prime  |  p  ||  n }
) )
2211, 29, 149, 220f1o2d 6069 1  |-  ( N  e.  NN  ->  F : S -1-1-onto-> ~P { p  e. 
Prime  |  p  ||  N } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   mmucmu 20332
This theorem is referenced by:  musum  20431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-mu 20338
  Copyright terms: Public domain W3C validator