Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Structured version   Unicode version

Theorem sqff1o 20967
 Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number to the powerset of the prime divisors of . Among other things, this implies that a number has squarefree divisors where is the number of prime divisors, and a squarefree number has divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1
sqff1o.2
sqff1o.3
Assertion
Ref Expression
sqff1o
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2
2 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
32neeq1d 2616 . . . . . . . . . 10
4 breq1 4217 . . . . . . . . . 10
53, 4anbi12d 693 . . . . . . . . 9
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9
75, 6elrab2 3096 . . . . . . . 8
87simprbi 452 . . . . . . 7
98simprd 451 . . . . . 6
109ad2antlr 709 . . . . 5
11 prmz 13085 . . . . . . 7
1211adantl 454 . . . . . 6
13 simplr 733 . . . . . . . . 9
1413, 7sylib 190 . . . . . . . 8
1514simpld 447 . . . . . . 7
1615nnzd 10376 . . . . . 6
17 nnz 10305 . . . . . . 7
1817ad2antrr 708 . . . . . 6
19 dvdstr 12885 . . . . . 6
2012, 16, 18, 19syl3anc 1185 . . . . 5
2110, 20mpan2d 657 . . . 4
2221ss2rabdv 3426 . . 3
23 nnex 10008 . . . . . 6
24 prmnn 13084 . . . . . . 7
2524ssriv 3354 . . . . . 6
2623, 25ssexi 4350 . . . . 5
2726rabex 4356 . . . 4
2827elpw 3807 . . 3
2922, 28sylibr 205 . 2
30 1nn0 10239 . . . . . . . . . 10
31 0nn0 10238 . . . . . . . . . 10
3230, 31keepel 3798 . . . . . . . . 9
3332rgenw 2775 . . . . . . . 8
34 eqid 2438 . . . . . . . . 9
3534fmpt 5892 . . . . . . . 8
3633, 35mpbi 201 . . . . . . 7
3736a1i 11 . . . . . 6
38 nn0ex 10229 . . . . . . 7
3938, 26elmap 7044 . . . . . 6
4037, 39sylibr 205 . . . . 5
41 fzfi 11313 . . . . . 6
42 ffn 5593 . . . . . . . . . . 11
43 elpreima 5852 . . . . . . . . . . 11
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10
45 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . . 14
4645ifbid 3759 . . . . . . . . . . . . 13
4730, 31keepel 3798 . . . . . . . . . . . . . 14
4847elexi 2967 . . . . . . . . . . . . 13
4946, 34, 48fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . 12
5049eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
5150biimpa 472 . . . . . . . . . 10
5244, 51sylbi 189 . . . . . . . . 9
53 0nnn 10033 . . . . . . . . . . 11
54 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . 12
5554eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
5653, 55mtbiri 296 . . . . . . . . . 10
5756con4i 125 . . . . . . . . 9
5852, 57syl 16 . . . . . . . 8
5958ssriv 3354 . . . . . . 7
60 elpwi 3809 . . . . . . . . 9
6160adantl 454 . . . . . . . 8
62 rabss2 3428 . . . . . . . . . 10
6325, 62ax-mp 8 . . . . . . . . 9
64 sgmss 20891 . . . . . . . . . 10
6564adantr 453 . . . . . . . . 9
6663, 65syl5ss 3361 . . . . . . . 8
6761, 66sstrd 3360 . . . . . . 7
6859, 67syl5ss 3361 . . . . . 6
69 ssfi 7331 . . . . . 6
7041, 68, 69sylancr 646 . . . . 5
71 cnveq 5048 . . . . . . . 8
7271imaeq1d 5204 . . . . . . 7
7372eleq1d 2504 . . . . . 6
7473elrab 3094 . . . . 5
7540, 70, 74sylanbrc 647 . . . 4
76 sqff1o.3 . . . . . . 7
77 eqid 2438 . . . . . . 7
7876, 771arith 13297 . . . . . 6
79 f1ocnv 5689 . . . . . 6
80 f1of 5676 . . . . . 6
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5
8281ffvelrni 5871 . . . 4
8375, 82syl 16 . . 3
84 f1ocnvfv2 6017 . . . . . . . . . . . 12
8578, 75, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
86761arithlem1 13293 . . . . . . . . . . . 12
8783, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11
8885, 87eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10
8988fveq1d 5732 . . . . . . . . 9
90 elequ1 1729 . . . . . . . . . . 11
9190ifbid 3759 . . . . . . . . . 10
9230, 31keepel 3798 . . . . . . . . . . 11
9392elexi 2967 . . . . . . . . . 10
9491, 34, 93fvmpt 5808 . . . . . . . . 9
9589, 94sylan9req 2491 . . . . . . . 8
96 oveq1 6090 . . . . . . . . . 10
97 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
98 ovex 6108 . . . . . . . . . 10
9996, 97, 98fvmpt 5808 . . . . . . . . 9
10099adantl 454 . . . . . . . 8
10195, 100eqtr3d 2472 . . . . . . 7
102 breq1 4217 . . . . . . . 8
103 breq1 4217 . . . . . . . 8
104 1le1 9652 . . . . . . . 8
105 0le1 9553 . . . . . . . 8
106102, 103, 104, 105keephyp 3795 . . . . . . 7
107101, 106syl6eqbrr 4252 . . . . . 6
108107ralrimiva 2791 . . . . 5
109 issqf 20921 . . . . . 6
11083, 109syl 16 . . . . 5
111108, 110mpbird 225 . . . 4
112 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . 12
113112adantl 454 . . . . . . . . . . 11
11461sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . 15
117114, 116sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14
118117simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13
119117simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14
120 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14
121 pcelnn 13245 . . . . . . . . . . . . . 14
122119, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
123118, 122mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
124123nnge1d 10044 . . . . . . . . . . 11
125113, 124eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . 10
126125ex 425 . . . . . . . . 9
127126adantr 453 . . . . . . . 8
128 simpr 449 . . . . . . . . . 10
12917ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
130 pcge0 13237 . . . . . . . . . 10
131128, 129, 130syl2anc 644 . . . . . . . . 9
132 iffalse 3748 . . . . . . . . . 10
133132breq1d 4224 . . . . . . . . 9
134131, 133syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8
135127, 134pm2.61d 153 . . . . . . 7
136101, 135eqbrtrrd 4236 . . . . . 6
137136ralrimiva 2791 . . . . 5
13883nnzd 10376 . . . . . 6
13917adantr 453 . . . . . 6
140 pc2dvds 13254 . . . . . 6
141138, 139, 140syl2anc 644 . . . . 5
142137, 141mpbird 225 . . . 4
143111, 142jca 520 . . 3
144 fveq2 5730 . . . . . 6
145144neeq1d 2616 . . . . 5
146 breq1 4217 . . . . 5
147145, 146anbi12d 693 . . . 4
148147, 6elrab2 3096 . . 3
14983, 143, 148sylanbrc 647 . 2
150 eqcom 2440 . . 3
1517simplbi 448 . . . . . . 7
152151ad2antrl 710 . . . . . 6
15326mptex 5968 . . . . . 6
15476fvmpt2 5814 . . . . . 6
155152, 153, 154sylancl 645 . . . . 5
156155eqeq1d 2446 . . . 4
15778a1i 11 . . . . 5
15875adantrl 698 . . . . 5
159 f1ocnvfvb 6019 . . . . 5
160157, 152, 158, 159syl3anc 1185 . . . 4
16126a1i 11 . . . . . . 7
162 0cn 9086 . . . . . . . 8
163162a1i 11 . . . . . . 7
164 ax-1cn 9050 . . . . . . . 8
165164a1i 11 . . . . . . 7
166 ax-1ne0 9061 . . . . . . . . 9
167166necomi 2688 . . . . . . . 8
168167a1i 11 . . . . . . 7
169161, 163, 165, 168pw2f1olem 7214 . . . . . 6
170 ssrab2 3430 . . . . . . . . 9
171 sspwb 4415 . . . . . . . . 9
172170, 171mpbi 201 . . . . . . . 8
173 simprr 735 . . . . . . . 8
174172, 173sseldi 3348 . . . . . . 7
175174biantrurd 496 . . . . . 6
176 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15
177151adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15
178 pccl 13225 . . . . . . . . . . . . . . 15
179176, 177, 178syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
180 elnn0 10225 . . . . . . . . . . . . . 14
181179, 180sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
182181orcomd 379 . . . . . . . . . . . 12
1838simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184183adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185 issqf 20921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
186177, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187184, 186mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
188187r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . 14
189 nnle1eq1 10030 . . . . . . . . . . . . . 14
190188, 189syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . 13
191190orim2d 815 . . . . . . . . . . . 12
192182, 191mpd 15 . . . . . . . . . . 11
193 ovex 6108 . . . . . . . . . . . 12
194193elpr 3834 . . . . . . . . . . 11
195192, 194sylibr 205 . . . . . . . . . 10
196 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
197195, 196fmptd 5895 . . . . . . . . 9
198197adantrr 699 . . . . . . . 8
199 prex 4408 . . . . . . . . 9
200199, 26elmap 7044 . . . . . . . 8
201198, 200sylibr 205 . . . . . . 7
202201biantrurd 496 . . . . . 6
203169, 175, 2023bitr4d 278 . . . . 5
204196mptiniseg 5366 . . . . . . . 8
20530, 204ax-mp 8 . . . . . . 7
206 id 21 . . . . . . . . . . . 12
207 1nn 10013 . . . . . . . . . . . 12
208206, 207syl6eqel 2526 . . . . . . . . . . 11
209208, 190impbid2 197 . . . . . . . . . 10
210 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
211 pcelnn 13245 . . . . . . . . . . 11
212210, 15, 211syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
213209, 212bitrd 246 . . . . . . . . 9
214213rabbidva 2949 . . . . . . . 8
215214adantrr 699 . . . . . . 7
216205, 215syl5eq 2482 . . . . . 6
217216eqeq2d 2449 . . . . 5
218203, 217bitrd 246 . . . 4
219156, 160, 2183bitr3d 276 . . 3
220150, 219syl5bb 250 . 2
2211, 29, 149, 220f1o2d 6298 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cif 3741  cpw 3801  csn 3816  cpr 3817   class class class wbr 4214   cmpt 4268  ccnv 4879  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmap 7020  cfn 7111  cc 8990  cc0 8992  c1 8993   cle 9123  cn 10002  cn0 10223  cz 10284  cfz 11045   cdivides 12854  cprime 13081   cpc 13212  cmu 20879 This theorem is referenced by:  musum  20978 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-mu 20885
 Copyright terms: Public domain W3C validator