MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Unicode version

Theorem sqgt0sr 8914
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 8888 . . . . 5  |-  0R  e.  R.
2 ltsosr 8902 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
3 sotrieq 4471 . . . . . 6  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. ) )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
42, 3mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
51, 4mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
65necon2abid 2607 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  <->  A  =/=  0R ) )
7 m1r 8890 . . . . . . . . 9  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
97, 8mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 ltasr 8908 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
12 addcomsr 8895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )
13 pn0sr 8909 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
1412, 13syl5eq 2431 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  A )  =  0R )
15 0idsr 8905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R )
)
169, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R ) )
1714, 16breq12d 4166 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( ( A  .R  -1R )  +R  A
)  <R  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
1811, 17bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
19 mulgt0sr 8913 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  <R  ( A  .R  -1R )  /\  0R  <R  ( A  .R  -1R ) )  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2019anidms 627 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  -1R )  ->  0R  <R  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2118, 20syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) ) )
22 mulcomsr 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
.R  A )  =  ( A  .R  -1R )
2322oveq1i 6030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )
24 mulasssr 8898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R ) )
25 mulasssr 8898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
2623, 24, 253eqtr3i 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
27 m1m1sr 8901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
.R  -1R )  =  1R
2827oveq2i 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
2926, 28eqtri 2407 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
3029oveq2i 6031 . . . . . . . 8  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R )
) )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
31 mulasssr 8898 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) ) )
32 mulasssr 8898 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
3330, 31, 323eqtr4i 2417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( ( A  .R  A
)  .R  1R )
34 mulclsr 8892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  .R  A
)  e.  R. )
35 1idsr 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3736anidms 627 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3833, 37syl5eq 2431 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  A ) )
3938breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R )
)  <->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
4021, 39sylibd 206 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
41 mulgt0sr 8913 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4241anidms 627 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4440, 43jaod 370 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
456, 44sylbird 227 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =/=  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4645imp 419 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153    Or wor 4443  (class class class)co 6020   R.cnr 8675   0Rc0r 8676   1Rc1r 8677   -1Rcm1r 8678    +R cplr 8679    .R cmr 8680    <R cltr 8681
This theorem is referenced by:  recexsr  8915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-ni 8682  df-pli 8683  df-mi 8684  df-lti 8685  df-plpq 8718  df-mpq 8719  df-ltpq 8720  df-enq 8721  df-nq 8722  df-erq 8723  df-plq 8724  df-mq 8725  df-1nq 8726  df-rq 8727  df-ltnq 8728  df-np 8791  df-1p 8792  df-plp 8793  df-mp 8794  df-ltp 8795  df-plpr 8865  df-mpr 8866  df-enr 8867  df-nr 8868  df-plr 8869  df-mr 8870  df-ltr 8871  df-0r 8872  df-1r 8873  df-m1r 8874
  Copyright terms: Public domain W3C validator