Theorem sqgt0sr 5215

Description: The square of a nonzero signed real is positive.

Hypothesis

Ref	Expression
sqgt0sr.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5189	. . . 4 |- 0R e. R.
2		ltsosr 5203	. . . . 5 |- <R Or R.
3		sotrieq 2861	. . . . 5 |- (( <R Or R. /\ (A e. R. /\ 0R e. R.)) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
4	2, 3	mpan 695	. . . 4 |- ((A e. R. /\ 0R e. R.) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
5	1, 4	mpan2 696	. . 3 |- (A e. R. -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
6	5	con2bid 526	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) <-> -. A = 0R))
7		m1r 5191	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
8		mulclsr 5193	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ -1R e. R.) -> (A .R -1R) e. R.)
9	7, 8	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> (A .R -1R) e. R.)
10		sqgt0sr.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
11	1	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
12	10, 11	ltasr 5209	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
14		pn0sr 5210	. . . . . . . 8 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)
15		oprex 3983	. . . . . . . . 9 |- (A .R -1R) e. V
16	15, 10	addcomsr 5196	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) +R A) = (A +R (A .R -1R))
17	14, 16	syl5eq 1519	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R A) = 0R)
18		0idsr 5206	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
19	9, 18	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
20	17, 19	breq12d 2631	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R) <-> 0R <R (A .R -1R)))
21	13, 20	bitrd 528	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> 0R <R (A .R -1R)))
22	15, 15	mulgt0sr 5214	. . . . . 6 |- ((0R <R (A .R -1R) /\ 0R <R (A .R -1R)) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
23	22	anidms 434	. . . . 5 |- (0R <R (A .R -1R) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
24	21, 23	syl6bi 214	. . . 4 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R))))
25		mulclsr 5193	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
26		1idsr 5207	. . . . . . . 8 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
28	27	anidms 434	. . . . . 6 |- (A e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
29	7	elisseti 1818	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
30		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- x e. V
31		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
32	30, 31	mulcomsr 5198	. . . . . . . 8 |- (x .R y) = (y .R x)
33		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- z e. V
34	31, 33	mulasssr 5199	. . . . . . . 8 |- ((x .R y) .R z) = (x .R (y .R z))
35	10, 29, 10, 32, 34, 29	caopr4 4064	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R (-1R .R -1R))
36		m1m1sr 5202	. . . . . . . 8 |- (-1R .R -1R) = 1R
37	36	opreq2i 3972	. . . . . . 7 |- ((A .R A) .R (-1R .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
38	35, 37	eqtr 1495	. . . . . 6 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
39	28, 38	syl5eq 1519	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = (A .R A))
40	39	breq2d 2630	. . . 4 |- (A e. R. -> (0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) <-> 0R <R (A .R A)))
41	24, 40	sylibd 202	. . 3 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R (A .R A)))
42	10, 10	mulgt0sr 5214	. . . . 5 |- ((0R <R A /\ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A))
43	42	anidms 434	. . . 4 |- (0R <R A -> 0R <R (A .R A))
44	43	a1i 8	. . 3 |- (A e. R. -> (0R <R A -> 0R <R (A .R A)))
45	41, 44	jaod 424	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A)))
46	6, 45	sylbird 205	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   class class class wbr 2619   Or wor 2839  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994  1Rc1r 4995  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997   .R cmr 4998   <R cltr 4999

This theorem is referenced by:  recexsr 5216  ssgt0sr 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173

Copyright terms: Public domain