Theorem sqgt0sr 5369

Description: The square of a nonzero signed real is positive.

Hypothesis

Ref	Expression
sqgt0sr.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
sqgt0sr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Proof of Theorem sqgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5343	. . . 4 |- 0R e. R.
2		ltsosr 5357	. . . . 5 |- <R Or R.
3		sotrieq 2940	. . . . 5 |- (( <R Or R. /\ (A e. R. /\ 0R e. R.)) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
4	2, 3	mpan 699	. . . 4 |- ((A e. R. /\ 0R e. R.) -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
5	1, 4	mpan2 700	. . 3 |- (A e. R. -> (A = 0R <-> -. (A <R 0R \/ 0R <R A)))
6	5	con2bid 529	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) <-> -. A = 0R))
7		m1r 5345	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
8		mulclsr 5347	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ -1R e. R.) -> (A .R -1R) e. R.)
9	7, 8	mpan2 700	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> (A .R -1R) e. R.)
10		sqgt0sr.1	. . . . . . . 8 |- A e. V
11	1	elisseti 1864	. . . . . . . 8 |- 0R e. V
12	10, 11	ltasr 5363	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
13	9, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> ((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R)))
14		pn0sr 5364	. . . . . . . 8 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)
15		oprex 4041	. . . . . . . . 9 |- (A .R -1R) e. V
16	15, 10	addcomsr 5350	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) +R A) = (A +R (A .R -1R))
17	14, 16	syl5eq 1562	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R A) = 0R)
18		0idsr 5360	. . . . . . . 8 |- ((A .R -1R) e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
19	9, 18	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R 0R) = (A .R -1R))
20	17, 19	breq12d 2704	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (((A .R -1R) +R A) <R ((A .R -1R) +R 0R) <-> 0R <R (A .R -1R)))
21	13, 20	bitrd 531	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A <R 0R <-> 0R <R (A .R -1R)))
22	15, 15	mulgt0sr 5368	. . . . . 6 |- ((0R <R (A .R -1R) /\ 0R <R (A .R -1R)) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
23	22	anidms 435	. . . . 5 |- (0R <R (A .R -1R) -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)))
24	21, 23	syl6bi 212	. . . 4 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R))))
25		mulclsr 5347	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
26		1idsr 5361	. . . . . . . 8 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
28	27	anidms 435	. . . . . 6 |- (A e. R. -> ((A .R A) .R 1R) = (A .R A))
29	7	elisseti 1864	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
30		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- x e. V
31		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- y e. V
32	30, 31	mulcomsr 5352	. . . . . . . 8 |- (x .R y) = (y .R x)
33		visset 1859	. . . . . . . . 9 |- z e. V
34	31, 33	mulasssr 5353	. . . . . . . 8 |- ((x .R y) .R z) = (x .R (y .R z))
35	10, 29, 10, 32, 34, 29	caopr4 4125	. . . . . . 7 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R (-1R .R -1R))
36		m1m1sr 5356	. . . . . . . 8 |- (-1R .R -1R) = 1R
37	36	opreq2i 4030	. . . . . . 7 |- ((A .R A) .R (-1R .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
38	35, 37	eqtri 1538	. . . . . 6 |- ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = ((A .R A) .R 1R)
39	28, 38	syl5eq 1562	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) = (A .R A))
40	39	breq2d 2703	. . . 4 |- (A e. R. -> (0R <R ((A .R -1R) .R (A .R -1R)) <-> 0R <R (A .R A)))
41	24, 40	sylibd 200	. . 3 |- (A e. R. -> (A <R 0R -> 0R <R (A .R A)))
42	10, 10	mulgt0sr 5368	. . . . 5 |- ((0R <R A /\ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A))
43	42	anidms 435	. . . 4 |- (0R <R A -> 0R <R (A .R A))
44	43	a1i 8	. . 3 |- (A e. R. -> (0R <R A -> 0R <R (A .R A)))
45	41, 44	jaod 424	. 2 |- (A e. R. -> ((A <R 0R \/ 0R <R A) -> 0R <R (A .R A)))
46	6, 45	sylbird 203	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   \/ wo 220   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   class class class wbr 2692   Or wor 2917  (class class class)co 4021  R.cnr 5147  0Rc0r 5148  1Rc1r 5149  -1Rcm1r 5150   +R cplr 5151   .R cmr 5152   <R cltr 5153

This theorem is referenced by:  recexsr 5370  ssgt0sr 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327

Copyright terms: Public domain