MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Structured version   Unicode version

Theorem sqgt0sr 9012
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 8986 . . . . 5  |-  0R  e.  R.
2 ltsosr 9000 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
3 sotrieq 4559 . . . . . 6  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. ) )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
42, 3mpan 653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
51, 4mpan2 654 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
65necon2abid 2667 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  <->  A  =/=  0R ) )
7 m1r 8988 . . . . . . . . 9  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
97, 8mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 ltasr 9006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
12 addcomsr 8993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )
13 pn0sr 9007 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
1412, 13syl5eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  A )  =  0R )
15 0idsr 9003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R )
)
169, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R ) )
1714, 16breq12d 4250 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( ( A  .R  -1R )  +R  A
)  <R  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
1811, 17bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
19 mulgt0sr 9011 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  <R  ( A  .R  -1R )  /\  0R  <R  ( A  .R  -1R ) )  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2019anidms 628 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  -1R )  ->  0R  <R  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2118, 20syl6bi 221 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) ) )
22 mulcomsr 8995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
.R  A )  =  ( A  .R  -1R )
2322oveq1i 6120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )
24 mulasssr 8996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R ) )
25 mulasssr 8996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
2623, 24, 253eqtr3i 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
27 m1m1sr 8999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
.R  -1R )  =  1R
2827oveq2i 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
2926, 28eqtri 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
3029oveq2i 6121 . . . . . . . 8  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R )
) )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
31 mulasssr 8996 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) ) )
32 mulasssr 8996 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
3330, 31, 323eqtr4i 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( ( A  .R  A
)  .R  1R )
34 mulclsr 8990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  .R  A
)  e.  R. )
35 1idsr 9004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3736anidms 628 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3833, 37syl5eq 2486 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  A ) )
3938breq2d 4249 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R )
)  <->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
4021, 39sylibd 207 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
41 mulgt0sr 9011 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4241anidms 628 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4440, 43jaod 371 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
456, 44sylbird 228 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =/=  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4645imp 420 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   class class class wbr 4237    Or wor 4531  (class class class)co 6110   R.cnr 8773   0Rc0r 8774   1Rc1r 8775   -1Rcm1r 8776    +R cplr 8777    .R cmr 8778    <R cltr 8779
This theorem is referenced by:  recexsr  9013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-omul 6758  df-er 6934  df-ec 6936  df-qs 6940  df-ni 8780  df-pli 8781  df-mi 8782  df-lti 8783  df-plpq 8816  df-mpq 8817  df-ltpq 8818  df-enq 8819  df-nq 8820  df-erq 8821  df-plq 8822  df-mq 8823  df-1nq 8824  df-rq 8825  df-ltnq 8826  df-np 8889  df-1p 8890  df-plp 8891  df-mp 8892  df-ltp 8893  df-plpr 8963  df-mpr 8964  df-enr 8965  df-nr 8966  df-plr 8967  df-mr 8968  df-ltr 8969  df-0r 8970  df-1r 8971  df-m1r 8972
  Copyright terms: Public domain W3C validator