MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Unicode version

Theorem sqgt0sr 8965
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 8939 . . . . 5  |-  0R  e.  R.
2 ltsosr 8953 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
3 sotrieq 4517 . . . . . 6  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. ) )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
42, 3mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
51, 4mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
65necon2abid 2650 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  <->  A  =/=  0R ) )
7 m1r 8941 . . . . . . . . 9  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
97, 8mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 ltasr 8959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
12 addcomsr 8946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )
13 pn0sr 8960 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
1412, 13syl5eq 2474 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  A )  =  0R )
15 0idsr 8956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R )
)
169, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R ) )
1714, 16breq12d 4212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( ( A  .R  -1R )  +R  A
)  <R  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
1811, 17bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
19 mulgt0sr 8964 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  <R  ( A  .R  -1R )  /\  0R  <R  ( A  .R  -1R ) )  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2019anidms 627 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  -1R )  ->  0R  <R  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2118, 20syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) ) )
22 mulcomsr 8948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
.R  A )  =  ( A  .R  -1R )
2322oveq1i 6077 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )
24 mulasssr 8949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R ) )
25 mulasssr 8949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
2623, 24, 253eqtr3i 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
27 m1m1sr 8952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
.R  -1R )  =  1R
2827oveq2i 6078 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
2926, 28eqtri 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
3029oveq2i 6078 . . . . . . . 8  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R )
) )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
31 mulasssr 8949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) ) )
32 mulasssr 8949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
3330, 31, 323eqtr4i 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( ( A  .R  A
)  .R  1R )
34 mulclsr 8943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  .R  A
)  e.  R. )
35 1idsr 8957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3736anidms 627 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3833, 37syl5eq 2474 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  A ) )
3938breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R )
)  <->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
4021, 39sylibd 206 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
41 mulgt0sr 8964 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4241anidms 627 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4440, 43jaod 370 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
456, 44sylbird 227 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =/=  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4645imp 419 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   class class class wbr 4199    Or wor 4489  (class class class)co 6067   R.cnr 8726   0Rc0r 8727   1Rc1r 8728   -1Rcm1r 8729    +R cplr 8730    .R cmr 8731    <R cltr 8732
This theorem is referenced by:  recexsr  8966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-ec 6893  df-qs 6897  df-ni 8733  df-pli 8734  df-mi 8735  df-lti 8736  df-plpq 8769  df-mpq 8770  df-ltpq 8771  df-enq 8772  df-nq 8773  df-erq 8774  df-plq 8775  df-mq 8776  df-1nq 8777  df-rq 8778  df-ltnq 8779  df-np 8842  df-1p 8843  df-plp 8844  df-mp 8845  df-ltp 8846  df-plpr 8916  df-mpr 8917  df-enr 8918  df-nr 8919  df-plr 8920  df-mr 8921  df-ltr 8922  df-0r 8923  df-1r 8924  df-m1r 8925
  Copyright terms: Public domain W3C validator