MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqgt0sr Unicode version

Theorem sqgt0sr 8723
Description: The square of a nonzero signed real is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sqgt0sr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )

Proof of Theorem sqgt0sr
StepHypRef Expression
1 0r 8697 . . . . 5  |-  0R  e.  R.
2 ltsosr 8711 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
3 sotrieq 4340 . . . . . 6  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. ) )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
42, 3mpan 653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
51, 4mpan2 654 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =  0R  <->  -.  ( A  <R  0R  \/  0R  <R  A ) ) )
65necon2abid 2504 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  <->  A  =/=  0R ) )
7 m1r 8699 . . . . . . . . 9  |-  -1R  e.  R.
8 mulclsr 8701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  .R  -1R )  e.  R. )
97, 8mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  .R  -1R )  e. 
R. )
10 ltasr 8717 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
119, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  <R  (
( A  .R  -1R )  +R  0R ) ) )
12 addcomsr 8704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  +R  A )  =  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )
13 pn0sr 8718 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  ( A  .R  -1R ) )  =  0R )
1412, 13syl5eq 2328 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  A )  =  0R )
15 0idsr 8714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  -1R )  e.  R.  ->  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R )
)
169, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  +R  0R )  =  ( A  .R  -1R ) )
1714, 16breq12d 4037 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( ( A  .R  -1R )  +R  A
)  <R  ( ( A  .R  -1R )  +R  0R )  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
1811, 17bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  <->  0R  <R  ( A  .R  -1R )
) )
19 mulgt0sr 8722 . . . . . . 7  |-  ( ( 0R  <R  ( A  .R  -1R )  /\  0R  <R  ( A  .R  -1R ) )  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2019anidms 628 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  -1R )  ->  0R  <R  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) )
2118, 20syl6bi 221 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) ) ) )
22 mulcomsr 8706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
.R  A )  =  ( A  .R  -1R )
2322oveq1i 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )
24 mulasssr 8707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -1R  .R  A )  .R  -1R )  =  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R ) )
25 mulasssr 8707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  -1R )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
2623, 24, 253eqtr3i 2312 . . . . . . . . . 10  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  -1R ) )
27 m1m1sr 8710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
.R  -1R )  =  1R
2827oveq2i 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
2926, 28eqtri 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  1R )
3029oveq2i 5830 . . . . . . . 8  |-  ( A  .R  ( -1R  .R  ( A  .R  -1R )
) )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
31 mulasssr 8707 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  ( -1R 
.R  ( A  .R  -1R ) ) )
32 mulasssr 8707 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  ( A  .R  1R ) )
3330, 31, 323eqtr4i 2314 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( ( A  .R  A
)  .R  1R )
34 mulclsr 8701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  .R  A
)  e.  R. )
35 1idsr 8715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( A  .R  A )  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3736anidms 628 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  A
)  .R  1R )  =  ( A  .R  A ) )
3833, 37syl5eq 2328 . . . . . 6  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R ) )  =  ( A  .R  A ) )
3938breq2d 4036 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( ( A  .R  -1R )  .R  ( A  .R  -1R )
)  <->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
4021, 39sylibd 207 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  <R  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
41 mulgt0sr 8722 . . . . . 6  |-  ( ( 0R  <R  A  /\  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4241anidms 628 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
4342a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  A  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4440, 43jaod 371 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  <R  0R  \/  0R  <R  A )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) ) )
456, 44sylbird 228 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  =/=  0R  ->  0R  <R  ( A  .R  A
) ) )
4645imp 420 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   class class class wbr 4024    Or wor 4312  (class class class)co 5819   R.cnr 8484   0Rc0r 8485   1Rc1r 8486   -1Rcm1r 8487    +R cplr 8488    .R cmr 8489    <R cltr 8490
This theorem is referenced by:  recexsr  8724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-rq 8536  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-1p 8601  df-plp 8602  df-mp 8603  df-ltp 8604  df-plpr 8674  df-mpr 8675  df-enr 8676  df-nr 8677  df-plr 8678  df-mr 8679  df-ltr 8680  df-0r 8681  df-1r 8682  df-m1r 8683
  Copyright terms: Public domain W3C validator