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Theorem sqr2irr 12831
Description: The square root of 2 is irrational. See zsqrelqelz 13133 for a generalization to all non-square integers. The proof's core is proven in sqr2irrlem 12830, which shows that if  A  /  B  =  sqr ( 2 ), then  A and  B are even, so  A  /  2 and  B  /  2 are smaller representatives, which is absurd. An older version of this proof was included in The Seventeen Provers of the World compiled by Freek Wiedijk. It is also the first "top 100" mathematical theorems whose formalization is tracked by Freek Wiedijk on his Formalizing 100 Theorems page at http://www.cs.ru.nl/~freek/100/. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqr2irr  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ

Proof of Theorem sqr2irr
Dummy variables  x  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 9996 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
2 breq2 4203 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
z  <  n  <->  z  <  1 ) )
32imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
43ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
5 breq2 4203 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  y  ->  (
z  <  n  <->  z  <  y ) )
65imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  y  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
76ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
8 breq2 4203 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  n  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
98imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
109ralbidv 2712 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  n  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
11 nnnlt1 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
1211pm2.21d 100 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) ) )
1312rgen 2758 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )
14 nnrp 10605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
15 rphalflt 10622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  < 
y )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  /  2 )  <  y )
17 breq1 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
z  <  y  <->  ( y  /  2 )  < 
y ) )
18 oveq2 6075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
( y  /  2
) ) )
1918neeq2d 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  ( y  /  2 ) ) ) )
2019ralbidv 2712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
2117, 20imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( y  / 
2 )  ->  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( (
y  /  2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) ) )
2221rspcv 3035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2322com13 76 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  2 )  <  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
2416, 23syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
25 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )
26 zcn 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2726ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  CC )
28 nncn 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  CC )
30 2cn 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  e.  CC )
32 nnne0 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  =/=  0
)
34 2ne0 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  2  =/=  0
)
3627, 29, 31, 33, 35divcan7d 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) )  =  ( z  /  y ) )
3725, 36eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( sqr `  2
)  =  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) )
38 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  z  e.  ZZ )
39 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  y  e.  NN )
4038, 39, 25sqr2irrlem 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  /\  ( y  /  2 )  e.  NN ) )
4140simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  NN )
4240simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( z  / 
2 )  e.  ZZ )
43 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
x  /  ( y  /  2 ) )  =  ( ( z  /  2 )  / 
( y  /  2
) ) )
4443neeq2d 2607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
( z  /  2
)  /  ( y  /  2 ) ) ) )
4544rspcv 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  /  2 )  e.  ZZ  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) )  ->  ( sqr `  2 )  =/=  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) ) ) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) )  -> 
( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4741, 46embantd 52 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( ( z  /  2 )  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
4847necon2bd 2642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  ( ( sqr `  2 )  =  ( ( z  / 
2 )  /  (
y  /  2 ) )  ->  -.  (
( y  /  2
)  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  (
y  /  2 ) ) ) ) )
4937, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y ) )  ->  -.  ( (
y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) ) )
5049ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  2
)  =  ( z  /  y )  ->  -.  ( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) ) ) )
5150necon2ad 2641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  /  2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  ( y  / 
2 ) ) )  ->  ( sqr `  2
)  =/=  ( z  /  y ) ) )
5251ralrimdva 2783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( y  / 
2 )  e.  NN  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
( y  /  2
) ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
5324, 52syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) ) )
54 oveq1 6074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  /  y )  =  ( z  / 
y ) )
5554neeq2d 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
z  /  y ) ) )
5655cbvralv 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  y
)  <->  A. z  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( z  / 
y ) )
5753, 56syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y ) ) )
58 oveq2 6075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  /  z )  =  ( x  / 
y ) )
5958neeq2d 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  ( sqr `  2 )  =/=  (
x  /  y ) ) )
6059ralbidv 2712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6160ceqsralv 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  y ) ) )
6257, 61sylibrd 226 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
6362ancld 537 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
64 nnleltp1 10313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
65 nnre 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
66 nnre 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
67 leloe 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <_  y  <->  ( z  <  y  \/  z  =  y ) ) )
6964, 68bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7069ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  <  (
y  +  1 )  <-> 
( z  <  y  \/  z  =  y
) ) )
7170imbi1d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  \/  z  =  y )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
72 jaob 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  <  y  \/  z  =  y
)  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7371, 72syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  <-> 
( ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
7473ralbidva 2708 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  A. z  e.  NN  ( ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) ) )
75 r19.26 2825 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  NN  (
( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  /\  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) )  <-> 
( A. z  e.  NN  ( z  < 
y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) )  /\  A. z  e.  NN  ( z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) ) )
7674, 75syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  /  z
) )  /\  A. z  e.  NN  (
z  =  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) ) )
7763, 76sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) ) ) )
784, 7, 10, 10, 13, 77nnind 10002 . . . . . 6  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
791, 78syl 16 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z ) ) )
8066ltp1d 9925 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  <  ( y  +  1 ) )
81 breq1 4202 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  <->  y  <  ( y  +  1 ) ) )
82 df-ne 2595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
y )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
8359, 82syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( sqr `  2
)  =/=  ( x  /  z )  <->  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
8483ralbidv 2712 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) ) )
85 ralnex 2702 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ZZ  -.  ( sqr `  2 )  =  ( x  / 
y )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
8684, 85syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z )  <->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) )
8781, 86imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  <->  ( y  <  ( y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8887rspcv 3035 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  A. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =/=  ( x  / 
z ) )  -> 
( y  <  (
y  +  1 )  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) ) ) )
8979, 80, 88mp2d 43 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  -.  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9089nrex 2795 . . 3  |-  -.  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y )
91 elq 10560 . . . 4  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
92 rexcom 2856 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
)  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2 )  =  ( x  /  y
) )
9391, 92bitri 241 . . 3  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  QQ  <->  E. y  e.  NN  E. x  e.  ZZ  ( sqr `  2
)  =  ( x  /  y ) )
9490, 93mtbir 291 . 2  |-  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ
95 df-nel 2596 . 2  |-  ( ( sqr `  2 )  e/  QQ  <->  -.  ( sqr `  2 )  e.  QQ )
9694, 95mpbir 201 1  |-  ( sqr `  2 )  e/  QQ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593    e/ wnel 2594   A.wral 2692   E.wrex 2693   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    < clt 9104    <_ cle 9105    / cdiv 9661   NNcn 9984   2c2 10033   ZZcz 10266   QQcq 10558   RR+crp 10596   sqrcsqr 12021
This theorem is referenced by:  nthruc  12833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024
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