Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Structured version   Unicode version

Theorem sqr2irrlem 12849
 Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if , then and are even, so and are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1
sqr2irrlem.2
sqr2irrlem.3
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 10072 . . . . . . . . . . . 12
2 sqrth 12170 . . . . . . . . . . . 12
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
4 sqr2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12
54oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11
63, 5syl5eqr 2484 . . . . . . . . . 10
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12
87zcnd 10378 . . . . . . . . . . 11
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12
109nncnd 10018 . . . . . . . . . . 11
119nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11
128, 10, 11sqdivd 11538 . . . . . . . . . 10
136, 12eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
1413oveq1d 6098 . . . . . . . 8
158sqcld 11523 . . . . . . . . 9
169nnsqcld 11545 . . . . . . . . . 10
1716nncnd 10018 . . . . . . . . 9
1816nnne0d 10046 . . . . . . . . 9
1915, 17, 18divcan1d 9793 . . . . . . . 8
2014, 19eqtrd 2470 . . . . . . 7
2120oveq1d 6098 . . . . . 6
221a1i 11 . . . . . . 7
23 2ne0 10085 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
2517, 22, 24divcan3d 9797 . . . . . 6
2621, 25eqtr3d 2472 . . . . 5
2726, 16eqeltrd 2512 . . . 4
2827nnzd 10376 . . 3
29 zesq 11504 . . . 4
307, 29syl 16 . . 3
3128, 30mpbird 225 . 2
321sqvali 11463 . . . . . . . 8
3332oveq2i 6094 . . . . . . 7
348, 22, 24sqdivd 11538 . . . . . . 7
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 9823 . . . . . . 7
3633, 34, 353eqtr4a 2496 . . . . . 6
3726oveq1d 6098 . . . . . 6
3836, 37eqtrd 2470 . . . . 5
39 zsqcl 11454 . . . . . 6
4031, 39syl 16 . . . . 5
4138, 40eqeltrrd 2513 . . . 4
4216nnrpd 10649 . . . . . 6
4342rphalfcld 10662 . . . . 5
4443rpgt0d 10653 . . . 4
45 elnnz 10294 . . . 4
4641, 44, 45sylanbrc 647 . . 3
47 nnesq 11505 . . . 4
489, 47syl 16 . . 3
4946, 48mpbird 225 . 2
5031, 49jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992   cmul 8997   clt 9122   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cz 10284  cexp 11384  csqr 12040 This theorem is referenced by:  sqr2irr  12850 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
 Copyright terms: Public domain W3C validator