Theorem sqr2irrlem1 6654

Description: Lemma for irrationality of square root of 2. Technical lemma used to simplify the main induction step.

Hypotheses

Ref	Expression
sqr2irrlem1.1	|- A e. NN
sqr2irrlem1.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem1	|- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B < A /\ (A / 2) e. NN) /\ (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2))))

Proof of Theorem sqr2irrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem1.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. NN
2	1	nnre 5879	. . . . . . . . 9 |- B e. RR
3	2	resqcl 6554	. . . . . . . 8 |- (B^2) e. RR
4	3	recn 5286	. . . . . . 7 |- (B^2) e. CC
5	4	mulid2 5305	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) = (B^2)
6		1lt2 5975	. . . . . . 7 |- 1 < 2
7		1re 5407	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
8		2re 5926	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9	1	nnsqcl 6590	. . . . . . . . 9 |- (B^2) e. NN
10	9	nngt0 5898	. . . . . . . 8 |- 0 < (B^2)
11	7, 8, 3, 10	ltmul1i 5777	. . . . . . 7 |- (1 < 2 <-> (1 x. (B^2)) < (2 x. (B^2)))
12	6, 11	mpbi 189	. . . . . 6 |- (1 x. (B^2)) < (2 x. (B^2))
13	5, 12	eqbrtrr 2626	. . . . 5 |- (B^2) < (2 x. (B^2))
14		breq2 2613	. . . . 5 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B^2) < (A^2) <-> (B^2) < (2 x. (B^2))))
15	13, 14	mpbiri 194	. . . 4 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B^2) < (A^2))
16		0re 5412	. . . . . 6 |- 0 e. RR
17	1	nngt0 5898	. . . . . 6 |- 0 < B
18	16, 2, 17	ltlei 5554	. . . . 5 |- 0 <_ B
19		sqr2irrlem1.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
20	19	nnre 5879	. . . . . 6 |- A e. RR
21	19	nngt0 5898	. . . . . 6 |- 0 < A
22	16, 20, 21	ltlei 5554	. . . . 5 |- 0 <_ A
23	2, 20	lt2sq 6555	. . . . 5 |- ((0 <_ B /\ 0 <_ A) -> (B < A <-> (B^2) < (A^2)))
24	18, 22, 23	mp2an 695	. . . 4 |- (B < A <-> (B^2) < (A^2))
25	15, 24	sylibr 200	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> B < A)
26	20	resqcl 6554	. . . . . . 7 |- (A^2) e. RR
27	26	recn 5286	. . . . . 6 |- (A^2) e. CC
28		2cn 5927	. . . . . 6 |- 2 e. CC
29		2ne0 5937	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
30	27, 28, 4, 29	divmul 5674	. . . . 5 |- (((A^2) / 2) = (B^2) <-> (2 x. (B^2)) = (A^2))
31		eleq1 1526	. . . . . . 7 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> (((A^2) / 2) e. NN <-> (B^2) e. NN))
32	9, 31	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> ((A^2) / 2) e. NN)
33	19	nnesq 6592	. . . . . 6 |- ((A / 2) e. NN <-> ((A^2) / 2) e. NN)
34	32, 33	sylibr 200	. . . . 5 |- (((A^2) / 2) = (B^2) -> (A / 2) e. NN)
35	30, 34	sylbir 201	. . . 4 |- ((2 x. (B^2)) = (A^2) -> (A / 2) e. NN)
36	35	eqcoms 1470	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (A / 2) e. NN)
37	25, 36	jca 288	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B < A /\ (A / 2) e. NN))
38	20, 8, 29	redivcl 5754	. . . . . . . . 9 |- (A / 2) e. RR
39	38	resqcl 6554	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) e. RR
40	8, 39	remulcl 5307	. . . . . . 7 |- (2 x. ((A / 2)^2)) e. RR
41	40	recn 5286	. . . . . 6 |- (2 x. ((A / 2)^2)) e. CC
42	28, 41, 4, 29	mulcan 5659	. . . . 5 |- ((2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (2 x. (B^2)) <-> (2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2))
43	19	nncn 5880	. . . . . . . . . 10 |- A e. CC
44	43, 28, 29	sqdiv 6548	. . . . . . . . 9 |- ((A / 2)^2) = ((A^2) / (2^2))
45	28	sqval 6544	. . . . . . . . . 10 |- (2^2) = (2 x. 2)
46	45	opreq2i 3957	. . . . . . . . 9 |- ((A^2) / (2^2)) = ((A^2) / (2 x. 2))
47	44, 46	eqtr 1487	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) = ((A^2) / (2 x. 2))
48	47	opreq2i 3957	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A / 2)^2)) = ((2 x. 2) x. ((A^2) / (2 x. 2)))
49	39	recn 5286	. . . . . . . 8 |- ((A / 2)^2) e. CC
50	28, 28, 49	mulass 5297	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A / 2)^2)) = (2 x. (2 x. ((A / 2)^2)))
51	28, 28	mulcl 5293	. . . . . . . 8 |- (2 x. 2) e. CC
52	28, 28, 29, 29	muln0 5668	. . . . . . . 8 |- (2 x. 2) =/= 0
53	51, 27, 52	divcan2 5685	. . . . . . 7 |- ((2 x. 2) x. ((A^2) / (2 x. 2))) = (A^2)
54	48, 50, 53	3eqtr3 1495	. . . . . 6 |- (2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (A^2)
55	54	eqeq1i 1474	. . . . 5 |- ((2 x. (2 x. ((A / 2)^2))) = (2 x. (B^2)) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
56	42, 55	bitr3 175	. . . 4 |- ((2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2) <-> (A^2) = (2 x. (B^2)))
57	56	biimpr 152	. . 3 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (2 x. ((A / 2)^2)) = (B^2))
58	57	eqcomd 1472	. 2 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2)))
59	37, 58	jca 288	1 |- ((A^2) = (2 x. (B^2)) -> ((B < A /\ (A / 2) e. NN) /\ (B^2) = (2 x. ((A / 2)^2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  2c2 5908  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem2 6655

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain