Theorem sqrge0 6703

Description: The square root of a nonnegative real is nonnegative.

Hypothesis

Ref	Expression
sqrth.1	|- A e. RR

Assertion

Ref	Expression
sqrge0	|- (0 <_ A -> 0 <_ (sqr` A))

Proof of Theorem sqrge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5452	. . 3 |- 0 e. RR
2		sqrth.1	. . 3 |- A e. RR
3	1, 2	leloe 5587	. 2 |- (0 <_ A <-> (0 < A \/ 0 = A))
4	1, 2	ltle 5592	. . . . 5 |- (0 < A -> 0 <_ A)
5	2	sqrcl 6701	. . . . 5 |- (0 <_ A -> (sqr` A) e. RR)
6	4, 5	syl 10	. . . 4 |- (0 < A -> (sqr` A) e. RR)
7		leloet 5530	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ (sqr` A) e. RR) -> (0 <_ (sqr` A) <-> (0 < (sqr` A) \/ 0 = (sqr` A))))
8	1, 7	mpan 697	. . . . 5 |- ((sqr` A) e. RR -> (0 <_ (sqr` A) <-> (0 < (sqr` A) \/ 0 = (sqr` A))))
9	2	sqrgt0 6702	. . . . . 6 |- (0 < A -> 0 < (sqr` A))
10	9	orcd 272	. . . . 5 |- (0 < A -> (0 < (sqr` A) \/ 0 = (sqr` A)))
11	8, 10	syl5bir 210	. . . 4 |- ((sqr` A) e. RR -> (0 < A -> 0 <_ (sqr` A)))
12	6, 11	mpcom 49	. . 3 |- (0 < A -> 0 <_ (sqr` A))
13		fveq2 3730	. . . . 5 |- (0 = A -> (sqr` 0) = (sqr` A))
14		sqr0 6673	. . . . 5 |- (sqr` 0) = 0
15	13, 14	syl5eqr 1524	. . . 4 |- (0 = A -> 0 = (sqr` A))
16	1	leid 5622	. . . 4 |- 0 <_ 0
17	15, 16	syl5breq 2655	. . 3 |- (0 = A -> 0 <_ (sqr` A))
18	12, 17	jaoi 341	. 2 |- ((0 < A \/ 0 = A) -> 0 <_ (sqr` A))
19	3, 18	sylbi 199	1 |- (0 <_ A -> 0 <_ (sqr` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307   < clt 5498  sqrcsqr 6670

This theorem is referenced by:  sqrmuli 6705  sqrle 6708  sqrlt 6709  sqrge0t 6713  absge0 6840  sincos6thpi 8706  norm-ii 8999  projlem6 9186  nmopcoadj 10029

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671

Copyright terms: Public domain