Theorem sqrlem10 6612

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem9.3	|- B e. RR
sqrlem9.4	|- C e. RR
sqrlem9.5	|- 0 < B
sqrlem9.6	|- A < (B x. B)
sqrlem9.7	|- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))

Assertion

Ref	Expression
sqrlem10	|- C < B

Proof of Theorem sqrlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem9.7	. 2 |- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
2		sqrlem9.6	. . . . . . . 8 |- A < (B x. B)
3		sqrlem1.1	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
4		sqrlem9.3	. . . . . . . . . 10 |- B e. RR
5	4, 4	remulcl 5307	. . . . . . . . 9 |- (B x. B) e. RR
6		sqrlem9.5	. . . . . . . . 9 |- 0 < B
7	3, 5, 4, 6	ltdiv1i 5779	. . . . . . . 8 |- (A < (B x. B) <-> (A / B) < ((B x. B) / B))
8	2, 7	mpbi 189	. . . . . . 7 |- (A / B) < ((B x. B) / B)
9	4	recn 5286	. . . . . . . 8 |- B e. CC
10	4, 6	gt0ne0i 5591	. . . . . . . 8 |- B =/= 0
11	9, 9, 10	divcan3 5714	. . . . . . 7 |- ((B x. B) / B) = B
12	8, 11	breqtr 2628	. . . . . 6 |- (A / B) < B
13	3, 4, 10	redivcl 5754	. . . . . . 7 |- (A / B) e. RR
14	13, 4, 4	ltadd2 5564	. . . . . 6 |- ((A / B) < B <-> (B + (A / B)) < (B + B))
15	12, 14	mpbi 189	. . . . 5 |- (B + (A / B)) < (B + B)
16		1re 5407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
17	16, 16	readdcl 5306	. . . . . . . 8 |- (1 + 1) e. RR
18	17	recn 5286	. . . . . . 7 |- (1 + 1) e. CC
19	9, 18	mulcom 5295	. . . . . 6 |- (B x. (1 + 1)) = ((1 + 1) x. B)
20	9	1p1times 5405	. . . . . 6 |- ((1 + 1) x. B) = (B + B)
21	19, 20	eqtr 1487	. . . . 5 |- (B x. (1 + 1)) = (B + B)
22	15, 21	breqtrr 2630	. . . 4 |- (B + (A / B)) < (B x. (1 + 1))
23	4, 13	readdcl 5306	. . . . 5 |- (B + (A / B)) e. RR
24	4, 17	remulcl 5307	. . . . 5 |- (B x. (1 + 1)) e. RR
25		lt01 5653	. . . . . 6 |- 0 < 1
26	16, 16, 25, 25	addgt0i 5575	. . . . 5 |- 0 < (1 + 1)
27	23, 24, 17, 26	ltdiv1i 5779	. . . 4 |- ((B + (A / B)) < (B x. (1 + 1)) <-> ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1)))
28	22, 27	mpbi 189	. . 3 |- ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1))
29	17, 26	gt0ne0i 5591	. . . 4 |- (1 + 1) =/= 0
30	18, 9, 29	divcan4 5715	. . 3 |- ((B x. (1 + 1)) / (1 + 1)) = B
31	28, 30	breqtr 2628	. 2 |- ((B + (A / B)) / (1 + 1)) < B
32	1, 31	eqbrtr 2624	1 |- C < B

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   < clt 5458

This theorem is referenced by:  sqrlem14 6616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain