Theorem sqrlem13 6630

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem9.3	|- B e. RR
sqrlem9.4	|- C e. RR
sqrlem9.5	|- 0 < B
sqrlem9.6	|- A < (B x. B)
sqrlem9.7	|- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
sqrlem12.8	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem13	|- (B = sup(S, RR, < ) -> -. C < B)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S   x,C

Proof of Theorem sqrlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem9.4	. . 3 |- C e. RR
2		sqrlem1.1	. . . . . . . 8 |- A e. RR
3		sqrlem1.2	. . . . . . . 8 |- 0 < A
4		sqrlem9.3	. . . . . . . 8 |- B e. RR
5		sqrlem9.5	. . . . . . . 8 |- 0 < B
6		sqrlem9.6	. . . . . . . 8 |- A < (B x. B)
7		sqrlem9.7	. . . . . . . 8 |- C = ((B + (A / B)) / (1 + 1))
8		sqrlem12.8	. . . . . . . 8 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
9	2, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8	sqrlem12 6629	. . . . . . 7 |- (z e. S -> z < C)
10	2, 3, 8	sqrlem4 6621	. . . . . . . . 9 |- (z e. S <-> (z e. RR /\ (0 <_ z /\ (z x. z) <_ A)))
11	10	pm3.26bi 322	. . . . . . . 8 |- (z e. S -> z e. RR)
12		axlttri 5486	. . . . . . . . 9 |- ((z e. RR /\ C e. RR) -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
13	1, 12	mpan2 695	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
14	11, 13	syl 10	. . . . . . 7 |- (z e. S -> (z < C <-> -. (z = C \/ C < z)))
15	9, 14	mpbid 195	. . . . . 6 |- (z e. S -> -. (z = C \/ C < z))
16		ioran 306	. . . . . 6 |- (-. (z = C \/ C < z) <-> (-. z = C /\ -. C < z))
17	15, 16	sylib 198	. . . . 5 |- (z e. S -> (-. z = C /\ -. C < z))
18	17	pm3.27d 325	. . . 4 |- (z e. S -> -. C < z)
19	18	rgen 1696	. . 3 |- A.z e. S -. C < z
20		ltso 5495	. . . 4 |- < Or RR
21	2, 3, 8	sqrlem6 6623	. . . . 5 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x)
22		axsup 5490	. . . . 5 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x) -> E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z)))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . 4 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
24	20, 23	supnubi 4570	. . 3 |- ((C e. RR /\ A.z e. S -. C < z) -> -. C < sup(S, RR, < ))
25	1, 19, 24	mp2an 696	. 2 |- -. C < sup(S, RR, < )
26		breq2 2619	. 2 |- (B = sup(S, RR, < ) -> (C < B <-> C < sup(S, RR, < )))
27	25, 26	mtbiri 716	1 |- (B = sup(S, RR, < ) -> -. C < B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  A.wral 1643  E.wrex 1644  {crab 1646   (_ wss 2044  (/)c0 2277   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  supcsup 4556  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   / cdiv 5277   <_ cle 5278   < clt 5469

This theorem is referenced by:  sqrlem14 6631

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682

Copyright terms: Public domain