Theorem sqrlem18 6620

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A
sqrlem15.3	|- B e. RR
sqrlem15.4	|- 0 < B
sqrlem15.5	|- C e. RR
sqrlem15.6	|- 0 < C
sqrlem16.7	|- C < B
sqrlem17.8	|- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem18	|- (C < ((A - (B x. B)) / (((1 + 1) + 1) x. B)) -> -. B = sup(S, RR, < ))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,S   x,C

Proof of Theorem sqrlem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 |- A e. RR
2		sqrlem1.2	. . 3 |- 0 < A
3		sqrlem15.3	. . 3 |- B e. RR
4		sqrlem15.4	. . 3 |- 0 < B
5		sqrlem15.5	. . 3 |- C e. RR
6		sqrlem15.6	. . 3 |- 0 < C
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	sqrlem15 6617	. 2 |- B < (B + C)
8		breq1 2612	. . . 4 |- (B = sup(S, RR, < ) -> (B < (B + C) <-> sup(S, RR, < ) < (B + C)))
9	8	negbid 609	. . 3 |- (B = sup(S, RR, < ) -> (-. B < (B + C) <-> -. sup(S, RR, < ) < (B + C)))
10		sqrlem16.7	. . . . 5 |- C < B
11		sqrlem17.8	. . . . 5 |- S = {x e. RR | (0 <_ x /\ (x x. x) <_ A)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	sqrlem17 6619	. . . 4 |- (C < ((A - (B x. B)) / (((1 + 1) + 1) x. B)) -> (B + C) e. S)
13		ltso 5484	. . . . 5 |- < Or RR
14	1, 2, 11	sqrlem6 6608	. . . . . 6 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x)
15		axsup 5479	. . . . . 6 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y < x) -> E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z)))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . 5 |- E.x e. RR (A.y e. S -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. S y < z))
17	13, 16	supubi 4559	. . . 4 |- ((B + C) e. S -> -. sup(S, RR, < ) < (B + C))
18	12, 17	syl 10	. . 3 |- (C < ((A - (B x. B)) / (((1 + 1) + 1) x. B)) -> -. sup(S, RR, < ) < (B + C))
19	9, 18	syl5cbir 211	. 2 |- (C < ((A - (B x. B)) / (((1 + 1) + 1) x. B)) -> (B = sup(S, RR, < ) -> -. B < (B + C)))
20	7, 19	mt2i 110	1 |- (C < ((A - (B x. B)) / (((1 + 1) + 1) x. B)) -> -. B = sup(S, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640   (_ wss 2037  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  supcsup 4547  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266   <_ cle 5267   < clt 5458

This theorem is referenced by:  sqrlem20 6622

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain