Theorem sqrlem2 6619

Description: Lemma for square root theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- A e. RR
sqrlem1.2	|- 0 < A

Assertion

Ref	Expression
sqrlem2	|- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Proof of Theorem sqrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . . . 5 |- A e. RR
2		sqrlem1.2	. . . . 5 |- 0 < A
3	1, 2	sqrlem1 6618	. . . 4 |- A < ((1 + A) x. (1 + A))
4		1re 5418	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
5	4, 1	readdcl 5317	. . . . . . 7 |- (1 + A) e. RR
6	5, 5	remulcl 5318	. . . . . 6 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. RR
7	1, 6, 1	ltmul2 5800	. . . . 5 |- (0 < A -> (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))))
8	2, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- (A < ((1 + A) x. (1 + A)) <-> (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))))
9	3, 8	mpbi 189	. . 3 |- (A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A)))
10	1, 1	remulcl 5318	. . . 4 |- (A x. A) e. RR
11	1, 6	remulcl 5318	. . . 4 |- (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) e. RR
12		0re 5423	. . . . . 6 |- 0 e. RR
13	12, 1, 6	lttr 5569	. . . . 5 |- ((0 < A /\ A < ((1 + A) x. (1 + A))) -> 0 < ((1 + A) x. (1 + A)))
14	2, 3, 13	mp2an 696	. . . 4 |- 0 < ((1 + A) x. (1 + A))
15	10, 11, 6, 14	ltdiv1i 5789	. . 3 |- ((A x. A) < (A x. ((1 + A) x. (1 + A))) <-> ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))))
16	9, 15	mpbi 189	. 2 |- ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A))) < ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
17	1	recn 5297	. . 3 |- A e. CC
18	5	recn 5297	. . 3 |- (1 + A) e. CC
19		lt01 5663	. . . . 5 |- 0 < 1
20	4, 1, 19, 2	addgt0i 5585	. . . 4 |- 0 < (1 + A)
21	5, 20	gt0ne0i 5601	. . 3 |- (1 + A) =/= 0
22	17, 18, 17, 18, 21, 21	divmuldiv 5752	. 2 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) = ((A x. A) / ((1 + A) x. (1 + A)))
23	6	recn 5297	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) e. CC
24	6, 14	gt0ne0i 5601	. . . 4 |- ((1 + A) x. (1 + A)) =/= 0
25	17, 23, 23, 24	divass 5719	. . 3 |- ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A))) = (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))))
26	23, 24	divid 5736	. . . 4 |- (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A))) = 1
27	26	opreq2i 3967	. . 3 |- (A x. (((1 + A) x. (1 + A)) / ((1 + A) x. (1 + A)))) = (A x. 1)
28	17	mulid1 5315	. . 3 |- (A x. 1) = A
29	25, 27, 28	3eqtrr 1498	. 2 |- A = ((A x. ((1 + A) x. (1 + A))) / ((1 + A) x. (1 + A)))
30	16, 22, 29	3brtr4 2639	1 |- ((A / (1 + A)) x. (A / (1 + A))) < A

Syntax hints:   <-> wb 146   e. wcel 957   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   x. cmul 5222   / cdiv 5277   < clt 5469

This theorem is referenced by:  sqrlem8 6625  sqrlem22 6639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682

Copyright terms: Public domain