Theorem sqrmuli 6705

Description: Square root distributes over multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrth.1	|- A e. RR
sqr11.1	|- B e. RR
sqrmuli.1	|- 0 <_ A
sqrmuli.2	|- 0 <_ B

Assertion

Ref	Expression
sqrmuli	|- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Proof of Theorem sqrmuli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrmuli.1	. . . . 5 |- 0 <_ A
2		sqrth.1	. . . . . 6 |- A e. RR
3	2	sqrth 6700	. . . . 5 |- (0 <_ A -> ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A)
4	1, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` A)) = A
5		sqrmuli.2	. . . . 5 |- 0 <_ B
6		sqr11.1	. . . . . 6 |- B e. RR
7	6	sqrth 6700	. . . . 5 |- (0 <_ B -> ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B)
8	5, 7	ax-mp 7	. . . 4 |- ((sqr` B) x. (sqr` B)) = B
9	4, 8	opreq12i 3979	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B))) = (A x. B)
10	2	sqrcl 6701	. . . . . 6 |- (0 <_ A -> (sqr` A) e. RR)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` A) e. RR
12	11	recn 5326	. . . 4 |- (sqr` A) e. CC
13	6	sqrcl 6701	. . . . . 6 |- (0 <_ B -> (sqr` B) e. RR)
14	5, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (sqr` B) e. RR
15	14	recn 5326	. . . 4 |- (sqr` B) e. CC
16	12, 15, 12, 15	mul4 5437	. . 3 |- (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) = (((sqr` A) x. (sqr` A)) x. ((sqr` B) x. (sqr` B)))
17	2, 6	mulge0 5619	. . . . 5 |- ((0 <_ A /\ 0 <_ B) -> 0 <_ (A x. B))
18	1, 5, 17	mp2an 699	. . . 4 |- 0 <_ (A x. B)
19	2, 6	remulcl 5347	. . . . 5 |- (A x. B) e. RR
20	19	sqrth 6700	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B))
21	18, 20	ax-mp 7	. . 3 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (A x. B)
22	9, 16, 21	3eqtr4r 1509	. 2 |- ((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B)))
23	19	sqrge0 6703	. . . 4 |- (0 <_ (A x. B) -> 0 <_ (sqr` (A x. B)))
24	18, 23	ax-mp 7	. . 3 |- 0 <_ (sqr` (A x. B))
25	2	sqrge0 6703	. . . . 5 |- (0 <_ A -> 0 <_ (sqr` A))
26	1, 25	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` A)
27	6	sqrge0 6703	. . . . 5 |- (0 <_ B -> 0 <_ (sqr` B))
28	5, 27	ax-mp 7	. . . 4 |- 0 <_ (sqr` B)
29	11, 14	mulge0 5619	. . . 4 |- ((0 <_ (sqr` A) /\ 0 <_ (sqr` B)) -> 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B)))
30	26, 28, 29	mp2an 699	. . 3 |- 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))
31	19	sqrcl 6701	. . . . 5 |- (0 <_ (A x. B) -> (sqr` (A x. B)) e. RR)
32	18, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (sqr` (A x. B)) e. RR
33	11, 14	remulcl 5347	. . . 4 |- ((sqr` A) x. (sqr` B)) e. RR
34	32, 33	msq11 5885	. . 3 |- ((0 <_ (sqr` (A x. B)) /\ 0 <_ ((sqr` A) x. (sqr` B))) -> (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))))
35	24, 30, 34	mp2an 699	. 2 |- (((sqr` (A x. B)) x. (sqr` (A x. B))) = (((sqr` A) x. (sqr` B)) x. ((sqr` A) x. (sqr` B))) <-> (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B)))
36	22, 35	mpbi 189	1 |- (sqr` (A x. B)) = ((sqr` A) x. (sqr` B))

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   x. cmul 5251   <_ cle 5307  sqrcsqr 6670

This theorem is referenced by:  sqrmul 6706  absmul 6847  sincos4thpi 8705  normlem6 8976  norm-iii 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671

Copyright terms: Public domain