Theorem sscls 7668

Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
sscls	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ ((cls` J)` S))

Proof of Theorem sscls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 2548	. . 3 |- S (_ |^|{x e. (Clsd` J) | S (_ x}
2	1	a1i 8	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ |^|{x e. (Clsd` J) | S (_ x})
3		clscld.1	. . 3 |- X = U.J
4	3	clsval 7656	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = |^|{x e. (Clsd` J) | S (_ x})
5	2, 4	sseqtr4d 2096	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> S (_ ((cls` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {crab 1647   (_ wss 2045  U.cuni 2500  |^|cint 2530  ` cfv 3179  Topctop 7567  Clsdccld 7639  clsccl 7641

This theorem is referenced by:  iscld4 7675  elcls 7683  ntrcls0 7686  clslp 7727  bcthlem28 8009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-top 7571  df-cld 7642  df-cls 7644

Copyright terms: Public domain