Theorem ssdif0 2317

Description: Subclass expressed in terms of difference. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 22.

Assertion

Ref	Expression
ssdif0	|- (A (_ B <-> (A \ B) = (/))

Proof of Theorem ssdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iman 237	. . . 4 |- ((x e. A -> x e. B) <-> -. (x e. A /\ -. x e. B))
2		eldif 2047	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3	2	negbii 187	. . . 4 |- (-. x e. (A \ B) <-> -. (x e. A /\ -. x e. B))
4	1, 3	bitr4 176	. . 3 |- ((x e. A -> x e. B) <-> -. x e. (A \ B))
5	4	albii 996	. 2 |- (A.x(x e. A -> x e. B) <-> A.x -. x e. (A \ B))
6		dfss2 2048	. 2 |- (A (_ B <-> A.x(x e. A -> x e. B))
7		eq0 2284	. 2 |- ((A \ B) = (/) <-> A.x -. x e. (A \ B))
8	5, 6, 7	3bitr4 183	1 |- (A (_ B <-> (A \ B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955   \ cdif 2034   (_ wss 2037  (/)c0 2270

This theorem is referenced by:  vdif0 2318  pssdifn0 2319  difid 2324  tfi 3116  peano5 3143  tz7.49 3944  oe0m1 4144  php3 4495  0ntr 7644  bcthlem10 7942  strlem1 10087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271

Copyright terms: Public domain