MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdif0 Structured version   Unicode version

Theorem ssdif0 3678
Description: Subclass expressed in terms of difference. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 22. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ssdif0  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  \  B )  =  (/) )

Proof of Theorem ssdif0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iman 414 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  B )  <->  -.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B
) )
2 eldif 3322 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  <->  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  B ) )
31, 2xchbinxr 303 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  ( A 
\  B ) )
43albii 1575 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  B )  <->  A. x  -.  x  e.  ( A  \  B ) )
5 dfss2 3329 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
6 eq0 3634 . 2  |-  ( ( A  \  B )  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  ( A  \  B
) )
74, 5, 63bitr4i 269 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  \  B )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620
This theorem is referenced by:  vdif0  3679  difrab0eq  3680  pssdifn0  3681  difid  3688  difin0  3693  ordintdif  4622  tfi  4825  peano5  4860  dffv2  5788  tz7.49  6694  oe0m1  6757  sdomdif  7247  php3  7285  sucdom2  7295  isinf  7314  unxpwdom2  7548  fin23lem26  8197  fin23lem21  8211  fin1a2lem13  8284  zornn0g  8377  fpwwe2lem13  8509  fpwwe2  8510  isumltss  12620  rpnnen2  12817  lspsnat  16209  lsppratlem6  16216  lspprat  16217  lbsextlem4  16225  opsrtoslem2  16537  cnsubrg  16751  0ntr  17127  cmpfi  17463  dfcon2  17474  filcon  17907  cfinfil  17917  ufileu  17943  alexsublem  18067  ptcmplem2  18076  ptcmplem3  18077  restmetu  18609  reconnlem1  18849  bcthlem5  19273  itg10  19572  limcnlp  19757  umgraex  21350  uvtx01vtx  21493  ex-dif  21723  strlem1  23745  difneqnul  23989  difioo  24137  sibfof  24646  probdif  24670  wfi  25474  frind  25510  wfrlem8  25537  wfrlem16  25545  symdifV  25662  onsucconi  26179  fdc  26430  fndifnfp  26718  setindtr  27076  symgsssg  27366  symgfisg  27367  psgnunilem5  27375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621
  Copyright terms: Public domain W3C validator