Theorem ssdmres 3365

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2043	. 2 |- (A (_ dom B <-> (A i^i dom B) = A)
2		dmres 3364	. . 3 |- dom ( B |` A) = (A i^i dom B)
3	2	eqeq1i 1474	. 2 |- (dom ( B |` A) = A <-> (A i^i dom B) = A)
4	1, 3	bitr4 176	1 |- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 953   i^i cin 2036   (_ wss 2037  dom cdm 3160   |` cres 3162

This theorem is referenced by:  dmresi 3383  fnssresb 3585  fores 3666  sbthlem4 4430  metreslem 7762  resgrprn 8030  hhssabl 9053  hhssnv 9054  hhshsslem1 9057  ghomfo 10296

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-dm 3178  df-res 3180

Copyright terms: Public domain