Theorem ssdomg 4549

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1domg 4537	. 2 |- (A e. C -> ((I |` A):A-1-1->B -> A ~<_ B))
2		f1oi 3828	. . . . . . . 8 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		dff1o3 3802	. . . . . . . 8 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
4	2, 3	mpbi 187	. . . . . . 7 |- ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A))
5	4	pm3.26i 318	. . . . . 6 |- (I |` A):A-onto->A
6		fof 3779	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-onto->A -> (I |` A):A-->A)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
8		fss 3742	. . . . 5 |- (((I |` A):A-->A /\ A (_ B) -> (I |` A):A-->B)
9	7, 8	mpan 699	. . . 4 |- (A (_ B -> (I |` A):A-->B)
10		funi 3650	. . . . . 6 |- Fun I
11		cnvi 3539	. . . . . . 7 |- `'I = I
12		funeq 3640	. . . . . . 7 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'I <-> Fun I)
14	10, 13	mpbir 188	. . . . 5 |- Fun `'I
15		funres11 3672	. . . . 5 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- Fun `'(I |` A)
17	9, 16	jctir 291	. . 3 |- (A (_ B -> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
18		df-f1 3276	. . 3 |- ((I |` A):A-1-1->B <-> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
19	17, 18	sylibr 198	. 2 |- (A (_ B -> (I |` A):A-1-1->B)
20	1, 19	syl5 21	1 |- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   (_ wss 2099   class class class wbr 2692  Icid 2909  `'ccnv 3250   |` cres 3253  Fun wfun 3257  -->wf 3259  -1-1->wf1 3260  -onto->wfo 3261  -1-1-onto->wf1o 3262   ~<_ cdom 4506

This theorem is referenced by:  ssdom2g 4550  xpdom3 4586  0dom 4609  mapdom1 4639  onomeneq 4665  nndomo 4667  omsdomnn 4676  unbnn 4690  pwfilem 4713  fodom 4944  carddomi 4984  unxpdomlem 4993  sdomel 4997  ondomon 5006  carduni 5008  cardprc 5011  alephordlem2 5023  alephordi 5024  alephval2 5052  cdadom3 5087  znnen 7714  qnnen 7715  infxpidmlem1 7764  infxpidmlem8 7771  infxpidmlem11 7774  infxpidmlem12 7775  infunabs 7777  infdif 7780  infmap2 7793  alephexp1 7796  axgroth2 9050  dmsdtriord 11408  finminlem 11418  fictb 11423  hartog 11436  onsdom 11437  omsubsuc2 11439  omsubsdomlem2 11441  omsubel 11444  elomsubsd 11446  omsublim 11448  infenomsub 11450  2ndc1stc 11538  2ndcctbss 11539  ufilen 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-rex 1696  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-op 2474  df-uni 2570  df-br 2693  df-opab 2741  df-id 2913  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-en 4509  df-dom 4510

Copyright terms: Public domain