MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomg Unicode version

Theorem ssdomg 6875
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4134 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
3 f1oi 5449 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
4 dff1o3 5416 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
53, 4mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) )
65simpli 446 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  A ) : A -onto-> A
7 fof 5389 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
86, 7ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
9 fss 5335 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  B )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> B )
108, 9mpan 654 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A --> B )
11 funi 5223 . . . . . . . 8  |-  Fun  _I
12 cnvi 5073 . . . . . . . . 9  |-  `'  _I  =  _I
1312funeqi 5214 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `'  _I  <->  Fun  _I  )
1411, 13mpbir 202 . . . . . . 7  |-  Fun  `'  _I
15 funres11 5258 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `'  _I  ->  Fun  `' (  _I  |`  A )
)
1614, 15ax-mp 10 . . . . . 6  |-  Fun  `' (  _I  |`  A )
1710, 16jctir 526 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) ) )
18 df-f1 4686 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B  <->  ( (  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
1917, 18sylibr 205 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
2019adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
21 f1dom2g 6847 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )  ->  A  ~<_  B )
221, 2, 20, 21syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  ~<_  B )
2322expcom 426 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   class class class wbr 3997    _I cid 4276   `'ccnv 4660    |` cres 4663   Fun wfun 4667   -->wf 4669   -1-1->wf1 4670   -onto->wfo 4671   -1-1-onto->wf1o 4672    ~<_ cdom 6829
This theorem is referenced by:  undom  6918  xpdom3  6928  domunsncan  6930  0domg  6956  domtriord  6975  sdomel  6976  sdomdif  6977  onsdominel  6978  pwdom  6981  2pwuninel  6984  mapdom1  6994  mapdom3  7001  limenpsi  7004  php  7013  php2  7014  php3  7015  onomeneq  7018  nndomo  7022  sucdom2  7025  unbnn  7081  nnsdomg  7084  fodomfi  7103  fidomdm  7106  pwfilem  7118  hartogslem1  7225  hartogs  7227  card2on  7236  wdompwdom  7260  wdom2d  7262  wdomima2g  7268  unxpwdom2  7270  unxpwdom  7271  harwdom  7272  r1sdom  7414  tskwe  7551  carddomi2  7571  cardsdomelir  7574  cardsdomel  7575  harcard  7579  carduni  7582  cardmin2  7599  infxpenlem  7609  ssnum  7634  acnnum  7647  fodomfi2  7655  inffien  7658  alephordi  7669  dfac12lem2  7738  cdadom3  7782  cdainflem  7785  cdainf  7786  unctb  7799  infunabs  7801  infcda  7802  infdif  7803  infdif2  7804  infmap2  7812  ackbij2  7837  fictb  7839  cfslb  7860  fincssdom  7917  fin67  7989  fin1a2lem12  8005  axcclem  8051  brdom3  8121  brdom5  8122  brdom4  8123  imadomg  8127  ondomon  8153  alephval2  8162  alephadd  8167  alephmul  8168  alephexp1  8169  alephsuc3  8170  alephexp2  8171  alephreg  8172  pwcfsdom  8173  cfpwsdom  8174  canthnum  8239  pwfseqlem5  8253  pwxpndom2  8255  pwcdandom  8257  gchac  8263  gchaleph  8265  gchaleph2  8266  winainflem  8283  gchina  8289  tsksdom  8346  tskinf  8359  inttsk  8364  inar1  8365  inatsk  8368  tskord  8370  tskcard  8371  grudomon  8407  gruina  8408  axgroth2  8415  axgroth6  8418  grothac  8420  hashun2  11331  hashsslei  11343  isercoll  12106  o1fsum  12236  xpnnenOLD  12450  znnen  12453  qnnen  12454  rpnnen  12467  ruc  12483  phicl2  12798  phibnd  12801  4sqlem11  12964  vdwlem11  13000  0ram  13029  mreexdomd  13513  pgpssslw  14887  fislw  14898  cctop  16705  1stcfb  17133  2ndc1stc  17139  1stcrestlem  17140  2ndcctbss  17143  2ndcdisj2  17145  2ndcsep  17147  dis2ndc  17148  csdfil  17551  ufilen  17587  opnreen  18298  rectbntr0  18299  ovolctb2  18813  uniiccdif  18895  dyadmbl  18917  opnmblALT  18920  vitali  18930  mbfimaopnlem  18972  mbfsup  18981  fta1blem  19516  aannenlem3  19672  ppiwordi  20362  musum  20393  ppiub  20405  chpub  20421  dchrisum0re  20624  dirith2  20639  subfaclefac  23079  erdszelem10  23103  umgraex  23247  konigsberg  23283  snmlff  23284  sndw  24466  carinttar  25269  finminlem  25598  abrexdom  25772  heiborlem3  25904  ctbnfien  26268  pellexlem4  26284  pellexlem5  26285  ttac  26496  idomodle  26879  idomsubgmo  26881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-dom 6833
  Copyright terms: Public domain W3C validator