Theorem ssdomg 4395

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1domg 4383	. 2 |- (A e. C -> ((I |` A):A-1-1->B -> A ~<_ B))
2		f1oi 3708	. . . . . . . 8 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1o3 3685	. . . . . . . 8 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A))
5	4	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- (I |` A):A-onto->A
6		fof 3663	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-onto->A -> (I |` A):A-->A)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
8		fss 3626	. . . . 5 |- (((I |` A):A-->A /\ A (_ B) -> (I |` A):A-->B)
9	7, 8	mpan 694	. . . 4 |- (A (_ B -> (I |` A):A-->B)
10		funi 3537	. . . . . 6 |- Fun I
11		cnvi 3439	. . . . . . 7 |- `'I = I
12		funeq 3527	. . . . . . 7 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'I <-> Fun I)
14	10, 13	mpbir 190	. . . . 5 |- Fun `'I
15		funres11 3559	. . . . 5 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- Fun `'(I |` A)
17	9, 16	jctir 293	. . 3 |- (A (_ B -> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
18		df-f1 3190	. . 3 |- ((I |` A):A-1-1->B <-> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
19	17, 18	sylibr 200	. 2 |- (A (_ B -> (I |` A):A-1-1->B)
20	1, 19	syl5 21	1 |- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  Icid 2826  `'ccnv 3164   |` cres 3167  Fun wfun 3171  -->wf 3173  -1-1->wf1 3174  -onto->wfo 3175  -1-1-onto->wf1o 3176   ~<_ cdom 4355

This theorem is referenced by:  ssdom2g 4396  xpdom3 4431  0dom 4450  mapdom1 4478  onomeneq 4504  nndomo 4506  omsdomnn 4515  unbnn 4527  pwfilem 4550  fodom 4778  carddomi 4815  unxpdomlem 4823  sdomel 4827  ondomon 4836  carduni 4838  cardprc 4841  alephordlem2 4853  alephordi 4854  alephval2 4882  cdadom3 4915  znnen 7453  qnnen 7454  infxpidmlem1 7503  infxpidmlem8 7510  infxpidmlem11 7513  infxpidmlem12 7514  infunabs 7516  infdif 7519  infmap2 7531  alephexp1 7534  axgroth2 8717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357  df-dom 4358

Copyright terms: Public domain