MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssdomg Unicode version

Theorem ssdomg 6923
Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssdomg  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem ssdomg
StepHypRef Expression
1 ssexg 4176 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  B  e.  V )
3 f1oi 5527 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
4 dff1o3 5494 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  <->  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
53, 4mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) )
65simpli 444 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  A ) : A -onto-> A
7 fof 5467 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  A ) : A --> A
9 fss 5413 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  A ) : A --> A  /\  A  C_  B )  -> 
(  _I  |`  A ) : A --> B )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A --> B )
11 funi 5300 . . . . . . . 8  |-  Fun  _I
12 cnvi 5101 . . . . . . . . 9  |-  `'  _I  =  _I
1312funeqi 5291 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `'  _I  <->  Fun  _I  )
1411, 13mpbir 200 . . . . . . 7  |-  Fun  `'  _I
15 funres11 5336 . . . . . . 7  |-  ( Fun  `'  _I  ->  Fun  `' (  _I  |`  A )
)
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  `' (  _I  |`  A )
1710, 16jctir 524 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
(  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A ) ) )
18 df-f1 5276 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B  <->  ( (  _I  |`  A ) : A --> B  /\  Fun  `' (  _I  |`  A )
) )
1917, 18sylibr 203 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )
21 f1dom2g 6895 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  V  /\  (  _I  |`  A ) : A -1-1-> B )  ->  A  ~<_  B )
221, 2, 20, 21syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  ~<_  B )
2322expcom 424 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270    ~<_ cdom 6877
This theorem is referenced by:  undom  6966  xpdom3  6976  domunsncan  6978  0domg  7004  domtriord  7023  sdomel  7024  sdomdif  7025  onsdominel  7026  pwdom  7029  2pwuninel  7032  mapdom1  7042  mapdom3  7049  limenpsi  7052  php  7061  php2  7062  php3  7063  onomeneq  7066  nndomo  7070  sucdom2  7073  unbnn  7129  nnsdomg  7132  fodomfi  7151  fidomdm  7154  pwfilem  7166  hartogslem1  7273  hartogs  7275  card2on  7284  wdompwdom  7308  wdom2d  7310  wdomima2g  7316  unxpwdom2  7318  unxpwdom  7319  harwdom  7320  r1sdom  7462  tskwe  7599  carddomi2  7619  cardsdomelir  7622  cardsdomel  7623  harcard  7627  carduni  7630  cardmin2  7647  infxpenlem  7657  ssnum  7682  acnnum  7695  fodomfi2  7703  inffien  7706  alephordi  7717  dfac12lem2  7786  cdadom3  7830  cdainflem  7833  cdainf  7834  unctb  7847  infunabs  7849  infcda  7850  infdif  7851  infdif2  7852  infmap2  7860  ackbij2  7885  fictb  7887  cfslb  7908  fincssdom  7965  fin67  8037  fin1a2lem12  8053  axcclem  8099  brdom3  8169  brdom5  8170  brdom4  8171  imadomg  8175  ondomon  8201  alephval2  8210  alephadd  8215  alephmul  8216  alephexp1  8217  alephsuc3  8218  alephexp2  8219  alephreg  8220  pwcfsdom  8221  cfpwsdom  8222  canthnum  8287  pwfseqlem5  8301  pwxpndom2  8303  pwcdandom  8305  gchac  8311  gchaleph  8313  gchaleph2  8314  winainflem  8331  gchina  8337  tsksdom  8394  tskinf  8407  inttsk  8412  inar1  8413  inatsk  8416  tskord  8418  tskcard  8419  grudomon  8455  gruina  8456  axgroth2  8463  axgroth6  8466  grothac  8468  hashun2  11381  hashsslei  11394  isercoll  12157  o1fsum  12287  incexc2  12313  xpnnenOLD  12504  znnen  12507  qnnen  12508  rpnnen  12521  ruc  12537  phicl2  12852  phibnd  12855  4sqlem11  13018  vdwlem11  13054  0ram  13083  mreexdomd  13567  pgpssslw  14941  fislw  14952  cctop  16759  1stcfb  17187  2ndc1stc  17193  1stcrestlem  17194  2ndcctbss  17197  2ndcdisj2  17199  2ndcsep  17201  dis2ndc  17202  csdfil  17605  ufilen  17641  opnreen  18352  rectbntr0  18353  ovolctb2  18867  uniiccdif  18949  dyadmbl  18971  opnmblALT  18974  vitali  18984  mbfimaopnlem  19026  mbfsup  19035  fta1blem  19570  aannenlem3  19726  ppiwordi  20416  musum  20447  ppiub  20459  chpub  20475  dchrisum0re  20678  dirith2  20693  abrexdomjm  23181  ssct  23352  fnct  23356  dmct  23357  cnvct  23358  mptct  23360  mptctf  23363  esumcst  23451  subfaclefac  23722  erdszelem10  23746  umgraex  23890  konigsberg  23926  snmlff  23927  sndw  25203  carinttar  26005  finminlem  26334  abrexdom  26508  heiborlem3  26640  ctbnfien  27004  pellexlem4  27020  pellexlem5  27021  ttac  27232  idomodle  27615  idomsubgmo  27617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-dom 6881
  Copyright terms: Public domain W3C validator