Theorem ssgt0sr 5200

Description: The sum of squares of signed reals is positive if one is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
ssgt0sr.1	|- A e. V
ssgt0sr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ssgt0sr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Proof of Theorem ssgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssgt0sr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. V
2	1	sqgt0sr 5198	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3	2	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ -. A = 0R) -> 0R <R (A .R A))
4	3	adantrr 395	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R (A .R A))
5		opreq12 3965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B = 0R /\ B = 0R) -> (B .R B) = (0R .R 0R))
6	5	anidms 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B = 0R -> (B .R B) = (0R .R 0R))
7		0r 5172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
8		00sr 5191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R .R 0R) = 0R
10	6, 9	syl6eq 1521	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B = 0R -> (B .R B) = 0R)
11	10	opreq2d 3971	. . . . . . . . . . . 12 |- (B = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = ((A .R A) +R 0R))
12		mulclsr 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. R. /\ A e. R.) -> (A .R A) e. R.)
13	12	anidms 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. R. -> (A .R A) e. R.)
14		0idsr 5189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A .R A) e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
15	13, 14	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. R. -> ((A .R A) +R 0R) = (A .R A))
16	11, 15	sylan9eqr 1527	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (A .R A))
17	16	breq2d 2626	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. R. /\ B = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
18	17	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (A .R A)))
19	4, 18	mpbird 196	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
20	19	adantlr 393	. . . . . . 7 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (-. A = 0R /\ B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
21	20	ancoms 436	. . . . . 6 |- (((-. A = 0R /\ B = 0R) /\ (A e. R. /\ B e. R.)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
22	21	exp31 376	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
23		ssgt0sr.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. V
24	23	sqgt0sr 5198	. . . . . . . . 9 |- (B e. R. -> (-. B = 0R -> 0R <R (B .R B)))
25	2, 24	im2anan9 562	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> (0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B))))
26		oprex 3978	. . . . . . . . 9 |- (A .R A) e. V
27		oprex 3978	. . . . . . . . 9 |- (B .R B) e. V
28	26, 27	addgt0sr 5196	. . . . . . . 8 |- ((0R <R (A .R A) /\ 0R <R (B .R B)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
29	25, 28	syl6 22	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R /\ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
30	29	exp3a 375	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
31	30	com3l 34	. . . . 5 |- (-. A = 0R -> (-. B = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
32	22, 31	pm2.61d 127	. . . 4 |- (-. A = 0R -> ((A e. R. /\ B e. R.) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
33	32	com12 11	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. A = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
34	24	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ -. B = 0R) -> 0R <R (B .R B))
35	34	adantrl 394	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R (B .R B))
36		opreq12 3965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A = 0R /\ A = 0R) -> (A .R A) = (0R .R 0R))
37	36	anidms 434	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0R -> (A .R A) = (0R .R 0R))
38	37, 9	syl6eq 1521	. . . . . . . . . . 11 |- (A = 0R -> (A .R A) = 0R)
39	38	opreq1d 3970	. . . . . . . . . 10 |- (A = 0R -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (0R +R (B .R B)))
40		mulclsr 5176	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. R. /\ B e. R.) -> (B .R B) e. R.)
41	40	anidms 434	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. R. -> (B .R B) e. R.)
42		0idsr 5189	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B .R B) e. R. -> ((B .R B) +R 0R) = (B .R B))
43	7	elisseti 1815	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R e. V
44	43, 27	addcomsr 5179	. . . . . . . . . . . 12 |- (0R +R (B .R B)) = ((B .R B) +R 0R)
45	42, 44	syl5eq 1517	. . . . . . . . . . 11 |- ((B .R B) e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
46	41, 45	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (B e. R. -> (0R +R (B .R B)) = (B .R B))
47	39, 46	sylan9eqr 1527	. . . . . . . . 9 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> ((A .R A) +R (B .R B)) = (B .R B))
48	47	breq2d 2626	. . . . . . . 8 |- ((B e. R. /\ A = 0R) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
49	48	adantrr 395	. . . . . . 7 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> (0R <R ((A .R A) +R (B .R B)) <-> 0R <R (B .R B)))
50	35, 49	mpbird 196	. . . . . 6 |- ((B e. R. /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
51	50	adantll 392	. . . . 5 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (A = 0R /\ -. B = 0R)) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))
52	51	exp32 377	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A = 0R -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B)))))
53	52, 30	pm2.61d 127	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. B = 0R -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
54	33, 53	jaod 424	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((-. A = 0R \/ -. B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))
55		ianor 305	. 2 |- (-. (A = 0R /\ B = 0R) <-> (-. A = 0R \/ -. B = 0R))
56	54, 55	syl5ib 206	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (-. (A = 0R /\ B = 0R) -> 0R <R ((A .R A) +R (B .R B))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  R.cnr 4976  0Rc0r 4977   +R cplr 4980   .R cmr 4981   <R cltr 4982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156

Copyright terms: Public domain