Theorem sshjvalt 9258

Description: Value of join for subsets of Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
sshjvalt	|- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Proof of Theorem sshjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3723	. . 3 |- (_|_` (_|_` (A u. B))) e. V
2		uneq1 2173	. . . . 5 |- (x = A -> (x u. y) = (A u. y))
3	2	fveq2d 3719	. . . 4 |- (x = A -> (_|_` (x u. y)) = (_|_` (A u. y)))
4	3	fveq2d 3719	. . 3 |- (x = A -> (_|_` (_|_` (x u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. y))))
5		uneq2 2174	. . . . 5 |- (y = B -> (A u. y) = (A u. B))
6	5	fveq2d 3719	. . . 4 |- (y = B -> (_|_` (A u. y)) = (_|_` (A u. B)))
7	6	fveq2d 3719	. . 3 |- (y = B -> (_|_` (_|_` (A u. y))) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8		df-chj 9213	. . . 4 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
9		ax-hilex 8808	. . . . . . . 8 |- H~ e. V
10	9	elpw2 2723	. . . . . . 7 |- (x e. P~H~ <-> x (_ H~)
11	9	elpw2 2723	. . . . . . 7 |- (y e. P~H~ <-> y (_ H~)
12	10, 11	anbi12i 482	. . . . . 6 |- ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) <-> (x (_ H~ /\ y (_ H~))
13	12	anbi1i 481	. . . . 5 |- (((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))) <-> ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y)))))
14	13	oprabbii 3988	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))} = {<.<.x, y>., z>. | ((x (_ H~ /\ y (_ H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
15	8, 14	eqtr4 1495	. . 3 |- vH = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. P~H~ /\ y e. P~H~) /\ z = (_|_` (_|_` (x u. y))))}
16	1, 4, 7, 15	oprabval2 4019	. 2 |- ((A e. P~H~ /\ B e. P~H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
17	9	elpw2 2723	. 2 |- (A e. P~H~ <-> A (_ H~)
18	9	elpw2 2723	. 2 |- (B e. P~H~ <-> B (_ H~)
19	16, 17, 18	syl2anbr 456	1 |- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   u. cun 2041   (_ wss 2043  P~cpw 2397  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  {copab2 3955  H~chil 8727  _|_cort 8738   vH chj 8741

This theorem is referenced by:  shjvalt 9259  sshjclt 9265  sshhococ 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-chj 9213

Copyright terms: Public domain