Theorem ssiin 2603

Description: Subset theorem for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
ssiin	|- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . 6 |- y e. V
2		eliin 2575	. . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
4	3	imbi2i 185	. . . 4 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
5		r19.21v 1719	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
6		df-ral 1652	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
7	4, 5, 6	3bitr2 179	. . 3 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
8	7	albii 1001	. 2 |- (A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
9		dfss2 2061	. 2 |- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B))
10		dfss2 2061	. . . 4 |- (C (_ B <-> A.y(y e. C -> y e. B))
11	10	ralbii 1670	. . 3 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B))
12		df-ral 1652	. . 3 |- (A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
13		19.21v 1287	. . . . 5 |- (A.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
14	13	albii 1001	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
15		alcom 1034	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
16	14, 15	bitr3 175	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
17	11, 12, 16	3bitr 177	. 2 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
18	8, 9, 17	3bitr4 183	1 |- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 956   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  |^|_ciin 2571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-12 970  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ral 1652  df-v 1815  df-in 2054  df-ss 2056  df-iin 2573

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