MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssint Unicode version

Theorem ssint 3819
Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ssint  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. x  e.  B  A  C_  x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ssint
StepHypRef Expression
1 dfss3 3112 . 2  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. y  e.  A  y  e.  |^| B )
2 vex 2743 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32elint2 3810 . . 3  |-  ( y  e.  |^| B  <->  A. x  e.  B  y  e.  x )
43ralbii 2538 . 2  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  |^| B  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x )
5 ralcom 2671 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  y  e.  x )
6 dfss3 3112 . . . 4  |-  ( A 
C_  x  <->  A. y  e.  A  y  e.  x )
76ralbii 2538 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A  C_  x  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  y  e.  x )
85, 7bitr4i 245 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x  <->  A. x  e.  B  A  C_  x )
91, 4, 83bitri 264 1  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. x  e.  B  A  C_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3094   |^|cint 3803
This theorem is referenced by:  ssintab  3820  ssintub  3821  iinpw  3931  trint  4068  oneqmini  4380  fint  5323  sorpssint  6186  iscard2  7542  coftr  7832  isf32lem2  7913  inttsk  8329  isacs1i  13486  mrelatglb  14214  fbfinnfr  17463  fclscmp  17652  dfrtrcl2  23382  fneint  25609  topmeet  25645  igenval2  26023  ismrcd1  26105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ral 2520  df-v 2742  df-in 3101  df-ss 3108  df-int 3804
  Copyright terms: Public domain W3C validator