MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssint Unicode version

Theorem ssint 3838
Description: Subclass of a class intersection. Theorem 5.11(viii) of [Monk1] p. 52 and its converse. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ssint  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. x  e.  B  A  C_  x
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ssint
StepHypRef Expression
1 dfss3 3131 . 2  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. y  e.  A  y  e.  |^| B )
2 vex 2760 . . . 4  |-  y  e. 
_V
32elint2 3829 . . 3  |-  ( y  e.  |^| B  <->  A. x  e.  B  y  e.  x )
43ralbii 2540 . 2  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  |^| B  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x )
5 ralcom 2673 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  y  e.  x )
6 dfss3 3131 . . . 4  |-  ( A 
C_  x  <->  A. y  e.  A  y  e.  x )
76ralbii 2540 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  A  C_  x  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  y  e.  x )
85, 7bitr4i 245 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  B  y  e.  x  <->  A. x  e.  B  A  C_  x )
91, 4, 83bitri 264 1  |-  ( A 
C_  |^| B  <->  A. x  e.  B  A  C_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3113   |^|cint 3822
This theorem is referenced by:  ssintab  3839  ssintub  3840  iinpw  3950  trint  4088  oneqmini  4401  fint  5344  sorpssint  6207  iscard2  7563  coftr  7853  isf32lem2  7934  inttsk  8350  isacs1i  13507  mrelatglb  14235  fbfinnfr  17484  fclscmp  17673  dfrtrcl2  23403  fneint  25630  topmeet  25666  igenval2  26044  ismrcd1  26126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ral 2521  df-v 2759  df-in 3120  df-ss 3127  df-int 3823
  Copyright terms: Public domain W3C validator