Theorem ssiun 2588

Description: Subset implication for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
ssiun	|- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U_x e. A B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1648	. 2 |- (E.x e. A C (_ B <-> E.x(x e. A /\ C (_ B))
2		pm3.35 359	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. C /\ (y e. C -> y e. B)) -> y e. B)
3	2	anim2i 335	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ (y e. C /\ (y e. C -> y e. B))) -> (x e. A /\ y e. B))
4	3	exp32 377	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. C -> ((y e. C -> y e. B) -> (x e. A /\ y e. B))))
5	4	com23 32	. . . . . . 7 |- (x e. A -> ((y e. C -> y e. B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B))))
6	5	imp 350	. . . . . 6 |- ((x e. A /\ (y e. C -> y e. B)) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
7		ssel 2060	. . . . . 6 |- (C (_ B -> (y e. C -> y e. B))
8	6, 7	sylan2 451	. . . . 5 |- ((x e. A /\ C (_ B) -> (y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
9	8	19.22i 1039	. . . 4 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
10	9	19.21aiv 1285	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)))
11		eliun 2566	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. A B <-> E.x e. A y e. B)
12		df-rex 1648	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. B <-> E.x(x e. A /\ y e. B))
13	11, 12	bitr2 174	. . . . . 6 |- (E.x(x e. A /\ y e. B) <-> y e. U_x e. A B)
14	13	imbi2i 185	. . . . 5 |- ((y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> y e. U_x e. A B))
15	14	albii 998	. . . 4 |- (A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> y e. U_x e. A B))
16		19.37v 1302	. . . . 5 |- (E.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> (y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
17	16	albii 998	. . . 4 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> A.y(y e. C -> E.x(x e. A /\ y e. B)))
18		dfss2 2055	. . . 4 |- (C (_ U_x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. U_x e. A B))
19	15, 17, 18	3bitr4 183	. . 3 |- (A.yE.x(y e. C -> (x e. A /\ y e. B)) <-> C (_ U_x e. A B)
20	10, 19	sylib 198	. 2 |- (E.x(x e. A /\ C (_ B) -> C (_ U_x e. A B)
21	1, 20	sylbi 199	1 |- (E.x e. A C (_ B -> C (_ U_x e. A B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957  E.wex 979  E.wrex 1644   (_ wss 2044  U_ciun 2562

This theorem is referenced by:  iunss2 2591  iunpwss 2614  iunpw 2910  oen0 4206  trcl 4628  r1tr 4637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-rex 1648  df-v 1809  df-in 2048  df-ss 2050  df-iun 2564

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