MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnei Unicode version

Theorem ssnei 16841
Description: A set is included in its neighborhoods. Proposition Viii of [BourbakiTop1] p. I.3 . (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
ssnei  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  S  C_  N )

Proof of Theorem ssnei
StepHypRef Expression
1 neii2 16839 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N ) )
2 sstr 3188 . . 3  |-  ( ( S  C_  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  N )
32rexlimivw 2664 . 2  |-  ( E. g  e.  J  ( S  C_  g  /\  g  C_  N )  ->  S  C_  N )
41, 3syl 17 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  N  e.  ( ( nei `  J ) `  S ) )  ->  S  C_  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1688   E.wrex 2545    C_ wss 3153   ` cfv 5221   Topctop 16625   neicnei 16828
This theorem is referenced by:  elnei  16842  0nnei  16843  opnneissb  16845  opnssneib  16846  tpnei  16852  cvmlift2lem1  23237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-top 16630  df-nei 16829
  Copyright terms: Public domain W3C validator