MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnlim Unicode version

Theorem ssnlim 4826
Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ssnlim  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ssnlim
StepHypRef Expression
1 limom 4823 . . . 4  |-  Lim  om
2 ssel 3306 . . . . 5  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x } ) )
3 limeq 4557 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
43notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( -.  Lim  x  <->  -.  Lim  om ) )
54elrab 3056 . . . . . 6  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  e.  On  /\  -.  Lim  om ) )
65simprbi 451 . . . . 5  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  Lim  om )
72, 6syl6 31 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  -.  Lim  om ) )
81, 7mt2i 112 . . 3  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  om  e.  A )
98adantl 453 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  -.  om  e.  A )
10 ordom 4817 . . . 4  |-  Ord  om
11 ordtri1 4578 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  om )  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1210, 11mpan2 653 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1312adantr 452 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
149, 13mpbird 224 1  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2674    C_ wss 3284   Ord word 4544   Oncon0 4545   Lim wlim 4546   omcom 4808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809
  Copyright terms: Public domain W3C validator