Theorem ssnn 4520

Description: A subset of a natural number is finite.

Assertion

Ref	Expression
ssnn	|- ((A e. om /\ B (_ A) -> E.x e. om B ~~ x)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ssnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssnn 4519	. . . 4 |- ((A e. om /\ B (. A) -> E.x e. A B ~~ x)
2		elnn 3137	. . . . . . . . 9 |- ((x e. A /\ A e. om) -> x e. om)
3	2	expcom 374	. . . . . . . 8 |- (A e. om -> (x e. A -> x e. om))
4	3	anim1d 559	. . . . . . 7 |- (A e. om -> ((x e. A /\ B ~~ x) -> (x e. om /\ B ~~ x)))
5	4	19.22dv 1288	. . . . . 6 |- (A e. om -> (E.x(x e. A /\ B ~~ x) -> E.x(x e. om /\ B ~~ x)))
6		df-rex 1647	. . . . . 6 |- (E.x e. A B ~~ x <-> E.x(x e. A /\ B ~~ x))
7		df-rex 1647	. . . . . 6 |- (E.x e. om B ~~ x <-> E.x(x e. om /\ B ~~ x))
8	5, 6, 7	3imtr4g 552	. . . . 5 |- (A e. om -> (E.x e. A B ~~ x -> E.x e. om B ~~ x))
9	8	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. om /\ B (. A) -> (E.x e. A B ~~ x -> E.x e. om B ~~ x))
10	1, 9	mpd 26	. . 3 |- ((A e. om /\ B (. A) -> E.x e. om B ~~ x)
11		eleq1 1531	. . . . 5 |- (B = A -> (B e. om <-> A e. om))
12	11	biimparc 419	. . . 4 |- ((A e. om /\ B = A) -> B e. om)
13		enrefg 4377	. . . . 5 |- (B e. om -> B ~~ B)
14	13	ancli 296	. . . 4 |- (B e. om -> (B e. om /\ B ~~ B))
15		breq2 2618	. . . . 5 |- (x = B -> (B ~~ x <-> B ~~ B))
16	15	rcla4ev 1873	. . . 4 |- ((B e. om /\ B ~~ B) -> E.x e. om B ~~ x)
17	12, 14, 16	3syl 20	. . 3 |- ((A e. om /\ B = A) -> E.x e. om B ~~ x)
18	10, 17	jaodan 426	. 2 |- ((A e. om /\ (B (. A \/ B = A)) -> E.x e. om B ~~ x)
19		sspss 2141	. 2 |- (B (_ A <-> (B (. A \/ B = A))
20	18, 19	sylan2b 452	1 |- ((A e. om /\ B (_ A) -> E.x e. om B ~~ x)

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E.wrex 1643   (_ wss 2043   (. wpss 2044   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354

This theorem is referenced by:  ssfi 4521  isfinite2 4529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-en 4357

Copyright terms: Public domain