Theorem ssopab2 2817

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication.

Assertion

Ref	Expression
ssopab2	|- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem ssopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2808	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab1 2808	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.x z e. {<.x, y>. | ps})
3	1, 2	hbss 2058	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.x{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
4		hbopab2 2809	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
5		hbopab2 2809	. . . . 5 |- (z e. {<.x, y>. | ps} -> A.y z e. {<.x, y>. | ps})
6	4, 5	hbss 2058	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y{<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
7		opex 2777	. . . . . 6 |- <.x, y>. e. V
8	7	isseti 1811	. . . . 5 |- E.z z = <.x, y>.
9		copsexg 2787	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ph <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)))
10		copsexg 2787	. . . . . . . . 9 |- (z = <.x, y>. -> (ps <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
11	9, 10	imbi12d 625	. . . . . . . 8 |- (z = <.x, y>. -> ((ph -> ps) <-> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps))))
12		ss2ab 2112	. . . . . . . . 9 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} <-> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
13		ax-4 971	. . . . . . . . 9 |- (A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
14	12, 13	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
15	11, 14	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (z = <.x, y>. -> ({z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)} -> (ph -> ps)))
16		df-opab 2662	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ph} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)}
17		df-opab 2662	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | ps} = {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)}
18	16, 17	sseq12i 2083	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
19	15, 18	syl5ib 206	. . . . . 6 |- (z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
20	19	19.23aiv 1293	. . . . 5 |- (E.z z = <.x, y>. -> ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps)))
21	8, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> (ph -> ps))
22	6, 21	19.21ai 996	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.y(ph -> ps))
23	3, 22	19.21ai 996	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} -> A.xA.y(ph -> ps))
24		hba1 1001	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.xA.xA.y(ph -> ps))
25		hba1 1001	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> A.yA.y(ph -> ps))
26		ax-4 971	. . . . . . . . 9 |- (A.y(ph -> ps) -> (ph -> ps))
27	26	anim2d 560	. . . . . . . 8 |- (A.y(ph -> ps) -> ((z = <.x, y>. /\ ph) -> (z = <.x, y>. /\ ps)))
28	25, 27	19.22d 1060	. . . . . . 7 |- (A.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
29	28	a4s 982	. . . . . 6 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
30	24, 29	19.22d 1060	. . . . 5 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
31	30	19.21aiv 1284	. . . 4 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> A.z(E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph) -> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)))
32	31, 12	sylibr 200	. . 3 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ph)} (_ {z | E.xE.y(z = <.x, y>. /\ ps)})
33	32, 16, 17	3sstr4g 2098	. 2 |- (A.xA.y(ph -> ps) -> {<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps})
34	23, 33	impbi 157	1 |- ({<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | ps} <-> A.xA.y(ph -> ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954  E.wex 978  {cab 1461   (_ wss 2043  <.cop 2407  {copab 2661

This theorem is referenced by:  ssopab2i 2818  cnvss 3286  cotr 3428  cnvsym 3429  dffun2 3518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662

Copyright terms: Public domain