Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd1 Structured version   Unicode version

Theorem sspadd1 30786
Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 3499 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
sspadd1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )

Proof of Theorem sspadd1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3499 . . 3  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
2 ssun1 3499 . . 3  |-  ( X  u.  Y )  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
31, 2sstri 3346 . 2  |-  X  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 eqid 2443 . . 3  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 padd0.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 padd0.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
84, 5, 6, 7paddval 30769 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
93, 8syl5sseqr 3386 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   E.wrex 2713   {crab 2716    u. cun 3307    C_ wss 3309   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   lecple 13574   joincjn 14439   Atomscatm 30235   + Pcpadd 30766
This theorem is referenced by:  paddasslem13  30803  paddasslem17  30807  paddidm  30812  paddssw2  30815  pmodlem1  30817  pmodlem2  30818  pmodl42N  30822  osumcllem1N  30927  osumcllem2N  30928  osumcllem10N  30936  pexmidlem6N  30946  pexmidlem7N  30947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-padd 30767
  Copyright terms: Public domain W3C validator