Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd1 Unicode version

Theorem sspadd1 30451
Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 3502 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
sspadd1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )

Proof of Theorem sspadd1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3502 . . 3  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
2 ssun1 3502 . . 3  |-  ( X  u.  Y )  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
31, 2sstri 3349 . 2  |-  X  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
4 eqid 2435 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 padd0.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 padd0.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
84, 5, 6, 7paddval 30434 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
93, 8syl5sseqr 3389 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701    u. cun 3310    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   lecple 13524   joincjn 14389   Atomscatm 29900   + Pcpadd 30431
This theorem is referenced by:  paddasslem13  30468  paddasslem17  30472  paddidm  30477  paddssw2  30480  pmodlem1  30482  pmodlem2  30483  pmodl42N  30487  osumcllem1N  30592  osumcllem2N  30593  osumcllem10N  30601  pexmidlem6N  30611  pexmidlem7N  30612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-padd 30432
  Copyright terms: Public domain W3C validator