Theorem sspgval 8374

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspg.y	|- Y = (Base` W)
sspg.g	|- G = (+v` U)
sspg.f	|- F = (+v` W)
sspg.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspgval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AFB) = (AGB))

Proof of Theorem sspgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspg.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
2		sspg.g	. . . 4 |- G = (+v` U)
3		sspg.f	. . . 4 |- F = (+v` W)
4		sspg.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	sspg 8373	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> F = (G |` (Y X. Y)))
6	5	opreqd 3974	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (AFB) = (A(G |` (Y X. Y))B))
7		oprvalres 4030	. 2 |- ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A(G |` (Y X. Y))B) = (AGB))
8	6, 7	sylan9eq 1526	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AFB) = (AGB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   X. cxp 3165   |` cres 3169  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  NrmCVeccnv 8188  +vcpv 8189  Basecba 8190  SubSpcss 8366

This theorem is referenced by:  sspmval 8378  sspival 8383  sspph 8499  minveclem16 8544  minveclem37 8565  hhshsslem2 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-grp 8020  df-gid 8021  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-nm 8204  df-ssp 8367

Copyright terms: Public domain