Theorem sspid 8370

Description: A normed complex vector space is a subspace of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
sspid.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspid	|- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Proof of Theorem sspid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2078	. . . 4 |- (+v` U) (_ (+v` U)
2		ssid 2078	. . . 4 |- (.s` U) (_ (.s` U)
3		ssid 2078	. . . 4 |- (norm` U) (_ (norm` U)
4	1, 2, 3	3pm3.2i 817	. . 3 |- ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))
5	4	jctr 291	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))))
6		eqid 1475	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
7		eqid 1475	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
8		eqid 1475	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
9		sspid.h	. . 3 |- H = (SubSp` U)
10	6, 6, 7, 7, 8, 8, 9	isssp 8369	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. H <-> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U)))))
11	5, 10	mpbird 196	1 |- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2045  ` cfv 3179  NrmCVeccnv 8188  +vcpv 8189  .scns 8191  normcnm 8194  SubSpcss 8366

This theorem is referenced by:  hhsssh 9127

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-nv 8196  df-va 8199  df-sm 8201  df-nm 8204  df-ssp 8367

Copyright terms: Public domain