Theorem sspimsval 8361

Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspims.y	|- Y = (Base` W)
sspims.d	|- D = (IndMet` U)
sspims.c	|- C = (IndMet` W)
sspims.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspimsval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ACB) = (ADB))

Proof of Theorem sspimsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspims.y	. . . . . . 7 |- Y = (Base` W)
2		eqid 1474	. . . . . . 7 |- (-v` W) = (-v` W)
3	1, 2	nvmcl 8231	. . . . . 6 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (A(-v` W)B) e. Y)
4	3	3expb 833	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(-v` W)B) e. Y)
5		sspims.h	. . . . . 6 |- H = (SubSp` U)
6	5	sspnv 8347	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
7	4, 6	sylan 448	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(-v` W)B) e. Y)
8		eqid 1474	. . . . . 6 |- (norm` U) = (norm` U)
9		eqid 1474	. . . . . 6 |- (norm` W) = (norm` W)
10	1, 8, 9, 5	sspnval 8358	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H /\ (A(-v` W)B) e. Y) -> ((norm` W)` (A(-v` W)B)) = ((norm` U)` (A(-v` W)B)))
11	10	3expa 832	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A(-v` W)B) e. Y) -> ((norm` W)` (A(-v` W)B)) = ((norm` U)` (A(-v` W)B)))
12	7, 11	syldan 467	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> ((norm` W)` (A(-v` W)B)) = ((norm` U)` (A(-v` W)B)))
13		eqid 1474	. . . . 5 |- (-v` U) = (-v` U)
14	1, 13, 2, 5	sspmval 8354	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(-v` W)B) = (A(-v` U)B))
15	14	fveq2d 3723	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> ((norm` U)` (A(-v` W)B)) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
16	12, 15	eqtrd 1505	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> ((norm` W)` (A(-v` W)B)) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
17		sspims.c	. . . . 5 |- C = (IndMet` W)
18	1, 2, 9, 17	imsdval 8281	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (ACB) = ((norm` W)` (A(-v` W)B)))
19	18	3expb 833	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ACB) = ((norm` W)` (A(-v` W)B)))
20	19, 6	sylan 448	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ACB) = ((norm` W)` (A(-v` W)B)))
21		eqid 1474	. . . . . . 7 |- (Base` U) = (Base` U)
22	21, 1, 5	sspba 8348	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y (_ (Base` U))
23	22	sseld 2064	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (A e. Y -> A e. (Base` U)))
24	22	sseld 2064	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> B e. (Base` U)))
25	23, 24	anim12d 557	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))))
26	25	imp 350	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)))
27		sspims.d	. . . . . 6 |- D = (IndMet` U)
28	21, 13, 8, 27	imsdval 8281	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)) -> (ADB) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
29	28	3expb 833	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (ADB) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
30	29	adantlr 393	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (ADB) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
31	26, 30	syldan 467	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ADB) = ((norm` U)` (A(-v` U)B)))
32	16, 20, 31	3eqtr4d 1515	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ACB) = (ADB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  -vcnsb 8172  normcnm 8173  IndMetcims 8174  SubSpcss 8342

This theorem is referenced by:  sspims 8362  minveclem9 8512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fo 3192  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ims 8184  df-ssp 8343

Copyright terms: Public domain