Theorem sspnv 8385

Description: A subspace is a normed complex vector space.

Hypothesis

Ref	Expression
sspnv.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspnv	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)

Proof of Theorem sspnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
2		eqid 1475	. . 3 |- (+v` W) = (+v` W)
3		eqid 1475	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1475	. . 3 |- (.s` W) = (.s` W)
5		eqid 1475	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
6		eqid 1475	. . 3 |- (norm` W) = (norm` W)
7		sspnv.h	. . 3 |- H = (SubSp` U)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isssp 8383	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ ((+v` W) (_ (+v` U) /\ (.s` W) (_ (.s` U) /\ (norm` W) (_ (norm` U)))))
9	8	pm3.26bda 420	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  ` cfv 3182  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  .scns 8206  normcnm 8209  SubSpcss 8380

This theorem is referenced by:  sspg 8387  ssps 8389  sspmlem 8391  sspmval 8392  sspz 8394  sspn 8395  sspival 8397  sspimsval 8399  sspph 8515  minveclem1 8545  minveclem9 8553  minveclem28 8572  minveclem29 8573  minvecex 8578  hhshsslem1 9137  hhshsslem2 9138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-nv 8211  df-va 8214  df-sm 8216  df-nm 8219  df-ssp 8381

Copyright terms: Public domain