MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspwb Unicode version

Theorem sspwb 4117
Description: Classes are subclasses if and only if their power classes are subclasses. Exercise 18 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 13-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
sspwb  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )

Proof of Theorem sspwb
StepHypRef Expression
1 sstr2 3107 . . . . 5  |-  ( x 
C_  A  ->  ( A  C_  B  ->  x  C_  B ) )
21com12 29 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  C_  A  ->  x 
C_  B ) )
3 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
43elpw 3536 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
53elpw 3536 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P B  <->  x  C_  B
)
62, 4, 53imtr4g 263 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P B
) )
76ssrdv 3106 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ~P A  C_  ~P B )
8 ssel 3097 . . . 4  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( { x }  e.  ~P A  ->  { x }  e.  ~P B
) )
9 snex 4110 . . . . . 6  |-  { x }  e.  _V
109elpw 3536 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
113snss 3652 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  { x }  C_  A )
1210, 11bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  x  e.  A )
139elpw 3536 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  { x }  C_  B )
143snss 3652 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  <->  { x }  C_  B )
1513, 14bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  x  e.  B )
168, 12, 153imtr3g 262 . . 3  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
1716ssrdv 3106 . 2  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  A  C_  B )
187, 17impbii 182 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   {csn 3544
This theorem is referenced by:  pwel  4119  ssextss  4121  pweqb  4124  pwdom  6898  marypha1lem  7070  wdompwdom  7176  r1pwss  7340  pwwf  7363  rankpwi  7379  rankxplim  7433  ackbij2lem1  7729  fictb  7755  ssfin2  7830  ssfin3ds  7840  ttukeylem2  8021  hashbclem  11267  wrdexg  11302  hashbcss  12925  isacs1i  13403  mreacs  13404  acsfn  13405  sscpwex  13536  wunfunc  13617  isacs3lem  14113  isacs5lem  14116  tgcmp  16960  imastopn  17243  fgabs  17406  fgtr  17417  trfg  17418  ssufl  17445  alexsubb  17572  tsmsres  17658  cfilresi  18553  cmetss  18572  minveclem4a  18626  minveclem4  18628  vitali  18800  sqff1o  20252  lemindclsbu  25161  neibastop1  25474  neibastop2lem  25475  neibastop2  25476  sstotbnd2  25664  isnacs3  25951  aomclem2  26318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551
  Copyright terms: Public domain W3C validator