MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspwb Unicode version

Theorem sspwb 4181
Description: Classes are subclasses if and only if their power classes are subclasses. Exercise 18 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 13-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
sspwb  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )

Proof of Theorem sspwb
StepHypRef Expression
1 sstr2 3147 . . . . 5  |-  ( x 
C_  A  ->  ( A  C_  B  ->  x  C_  B ) )
21com12 29 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  C_  A  ->  x 
C_  B ) )
3 vex 2760 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
43elpw 3591 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
53elpw 3591 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P B  <->  x  C_  B
)
62, 4, 53imtr4g 263 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P B
) )
76ssrdv 3146 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ~P A  C_  ~P B )
8 ssel 3135 . . . 4  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( { x }  e.  ~P A  ->  { x }  e.  ~P B
) )
9 snex 4174 . . . . . 6  |-  { x }  e.  _V
109elpw 3591 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
113snss 3708 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  { x }  C_  A )
1210, 11bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  x  e.  A )
139elpw 3591 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  { x }  C_  B )
143snss 3708 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  <->  { x }  C_  B )
1513, 14bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  x  e.  B )
168, 12, 153imtr3g 262 . . 3  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
1716ssrdv 3146 . 2  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  A  C_  B )
187, 17impbii 182 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621    C_ wss 3113   ~Pcpw 3585   {csn 3600
This theorem is referenced by:  pwel  4183  ssextss  4185  pweqb  4188  pwdom  6967  marypha1lem  7140  wdompwdom  7246  r1pwss  7410  pwwf  7433  rankpwi  7449  rankxplim  7503  ackbij2lem1  7799  fictb  7825  ssfin2  7900  ssfin3ds  7910  ttukeylem2  8091  hashbclem  11341  wrdexg  11376  hashbcss  12999  isacs1i  13507  mreacs  13508  acsfn  13509  sscpwex  13640  wunfunc  13721  isacs3lem  14217  isacs5lem  14220  tgcmp  17076  imastopn  17359  fgabs  17522  fgtr  17533  trfg  17534  ssufl  17561  alexsubb  17688  tsmsres  17774  cfilresi  18669  cmetss  18688  minveclem4a  18742  minveclem4  18744  vitali  18916  sqff1o  20368  ballotlem2  22994  lemindclsbu  25348  neibastop1  25661  neibastop2lem  25662  neibastop2  25663  sstotbnd2  25851  isnacs3  26138  aomclem2  26505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607
  Copyright terms: Public domain W3C validator