MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspwb Unicode version

Theorem sspwb 4161
Description: Classes are subclasses if and only if their power classes are subclasses. Exercise 18 of [TakeutiZaring] p. 18. (Contributed by NM, 13-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
sspwb  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )

Proof of Theorem sspwb
StepHypRef Expression
1 sstr2 3128 . . . . 5  |-  ( x 
C_  A  ->  ( A  C_  B  ->  x  C_  B ) )
21com12 29 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  C_  A  ->  x 
C_  B ) )
3 vex 2743 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
43elpw 3572 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
53elpw 3572 . . . 4  |-  ( x  e.  ~P B  <->  x  C_  B
)
62, 4, 53imtr4g 263 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  (
x  e.  ~P A  ->  x  e.  ~P B
) )
76ssrdv 3127 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ~P A  C_  ~P B )
8 ssel 3116 . . . 4  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( { x }  e.  ~P A  ->  { x }  e.  ~P B
) )
9 snex 4154 . . . . . 6  |-  { x }  e.  _V
109elpw 3572 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  { x }  C_  A )
113snss 3689 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  <->  { x }  C_  A )
1210, 11bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P A 
<->  x  e.  A )
139elpw 3572 . . . . 5  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  { x }  C_  B )
143snss 3689 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  <->  { x }  C_  B )
1513, 14bitr4i 245 . . . 4  |-  ( { x }  e.  ~P B 
<->  x  e.  B )
168, 12, 153imtr3g 262 . . 3  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
1716ssrdv 3127 . 2  |-  ( ~P A  C_  ~P B  ->  A  C_  B )
187, 17impbii 182 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ~P A  C_ 
~P B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1621    C_ wss 3094   ~Pcpw 3566   {csn 3581
This theorem is referenced by:  pwel  4163  ssextss  4165  pweqb  4168  pwdom  6946  marypha1lem  7119  wdompwdom  7225  r1pwss  7389  pwwf  7412  rankpwi  7428  rankxplim  7482  ackbij2lem1  7778  fictb  7804  ssfin2  7879  ssfin3ds  7889  ttukeylem2  8070  hashbclem  11320  wrdexg  11355  hashbcss  12978  isacs1i  13486  mreacs  13487  acsfn  13488  sscpwex  13619  wunfunc  13700  isacs3lem  14196  isacs5lem  14199  tgcmp  17055  imastopn  17338  fgabs  17501  fgtr  17512  trfg  17513  ssufl  17540  alexsubb  17667  tsmsres  17753  cfilresi  18648  cmetss  18667  minveclem4a  18721  minveclem4  18723  vitali  18895  sqff1o  20347  ballotlem2  22973  lemindclsbu  25327  neibastop1  25640  neibastop2lem  25641  neibastop2  25642  sstotbnd2  25830  isnacs3  26117  aomclem2  26484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588
  Copyright terms: Public domain W3C validator