Theorem sspz 8356

Description: The zero vector of a subspace is the same as the parent's.

Hypotheses

Ref	Expression
sspz.z	|- Z = (0v` U)
sspz.q	|- Q = (0v` W)
sspz.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspz	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q = Z)

Proof of Theorem sspz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspz.h	. . . . 5 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 8347	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		eqid 1474	. . . . . 6 |- (Base` W) = (Base` W)
4		sspz.q	. . . . . 6 |- Q = (0v` W)
5	3, 4	nvzcl 8219	. . . . 5 |- (W e. NrmCVec -> Q e. (Base` W))
6	5, 5	jca 288	. . . 4 |- (W e. NrmCVec -> (Q e. (Base` W) /\ Q e. (Base` W)))
7	2, 6	syl 10	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q e. (Base` W) /\ Q e. (Base` W)))
8		eqid 1474	. . . 4 |- (-v` U) = (-v` U)
9		eqid 1474	. . . 4 |- (-v` W) = (-v` W)
10	3, 8, 9, 1	sspmval 8354	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (Q e. (Base` W) /\ Q e. (Base` W))) -> (Q(-v` W)Q) = (Q(-v` U)Q))
11	7, 10	mpdan 703	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` W)Q) = (Q(-v` U)Q))
12	3, 9, 4	nvmid 8249	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ Q e. (Base` W)) -> (Q(-v` W)Q) = Q)
13	2, 5	syl 10	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q e. (Base` W))
14	12, 2, 13	sylanc 471	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` W)Q) = Q)
15		eqid 1474	. . . . 5 |- (Base` U) = (Base` U)
16	15, 3, 1	sspba 8348	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Base` W) (_ (Base` U))
17	16, 13	sseldd 2065	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q e. (Base` U))
18		sspz.z	. . . 4 |- Z = (0v` U)
19	15, 8, 18	nvmid 8249	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ Q e. (Base` U)) -> (Q(-v` U)Q) = Z)
20	17, 19	syldan 467	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (Q(-v` U)Q) = Z)
21	11, 14, 20	3eqtr3d 1513	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Q = Z)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  0vcn0v 8171  -vcnsb 8172  SubSpcss 8342

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 9093

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fo 3192  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-gdiv 8002  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-vs 8182  df-nm 8183  df-ssp 8343

Copyright terms: Public domain