MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrel Unicode version

Theorem ssrel 4729
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ssrel
StepHypRef Expression
1 ssel 3116 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 2014 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
3 eleq1 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
4 eleq1 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
53, 4imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
65biimprcd 218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
762alimi 1547 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
8 19.23vv 2023 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
97, 8sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
109com23 74 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
1110a2d 25 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
1211alimdv 2018 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
13 df-rel 4641 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
14 dfss2 3111 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
15 elvv 4701 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
1615imbi2i 305 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1716albii 1554 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1813, 14, 173bitri 264 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
19 dfss2 3111 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
2012, 18, 193imtr4g 263 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
2120com12 29 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
222, 21impbid2 197 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178   A.wal 1532   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   <.cop 3584    X. cxp 4624   Rel wrel 4631
This theorem is referenced by:  eqrel  4730  relssi  4731  relssdv  4732  cotr  5008  cnvsym  5010  intasym  5011  intirr  5014  codir  5016  qfto  5017  dfso2  23447  dfpo2  23448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2742  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-opab 4018  df-xp 4640  df-rel 4641
  Copyright terms: Public domain W3C validator