MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrel Unicode version

Theorem ssrel 4775
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ssrel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3175 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1618 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
3 eleq1 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
4 eleq1 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
53, 4imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
65biimprcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
762alimi 1547 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
8 19.23vv 1835 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
109com23 72 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
1110a2d 23 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
1211alimdv 1607 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
13 df-rel 4695 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
14 dfss2 3170 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
15 elvv 4747 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
1615imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1716albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1813, 14, 173bitri 262 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
19 dfss2 3170 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
2012, 18, 193imtr4g 261 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
2120com12 27 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
222, 21impbid2 195 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   <.cop 3644    X. cxp 4686   Rel wrel 4693
This theorem is referenced by:  eqrel  4776  relssi  4777  relssdv  4778  cotr  5054  cnvsym  5056  intasym  5057  intirr  5060  codir  5062  qfto  5063  dfso2  23517  dfpo2  23518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-opab 4079  df-xp 4694  df-rel 4695
  Copyright terms: Public domain W3C validator