MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrel Unicode version

Theorem ssrel 4778
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ssrel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3176 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1620 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
3 eleq1 2345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
4 eleq1 2345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
53, 4imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
65biimprcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
762alimi 1549 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
8 19.23vv 1835 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
109com23 72 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
1110a2d 23 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
1211alimdv 1609 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
13 df-rel 4698 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
14 dfss2 3171 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
15 elvv 4750 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
1615imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1716albii 1555 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1813, 14, 173bitri 262 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
19 dfss2 3171 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
2012, 18, 193imtr4g 261 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
2120com12 27 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
222, 21impbid2 195 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1529   E.wex 1530    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   <.cop 3645    X. cxp 4689   Rel wrel 4696
This theorem is referenced by:  eqrel  4779  relssi  4780  relssdv  4781  cotr  5057  cnvsym  5059  intasym  5060  intirr  5063  codir  5065  qfto  5066  dfso2  24113  dfpo2  24114  dffun10  24455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-opab 4080  df-xp 4697  df-rel 4698
  Copyright terms: Public domain W3C validator