MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrel Unicode version

Theorem ssrel 4931
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrel  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem ssrel
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3310 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1639 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
3 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  <->  <. x ,  y
>.  e.  A ) )
4 eleq1 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  B  <->  <. x ,  y
>.  e.  B ) )
53, 4imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  A  ->  z  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) ) )
65biimprcd 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
762alimi 1566 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A. x A. y ( z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
8 19.23vv 1911 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )  <->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
97, 8sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( E. x E. y  z  = 
<. x ,  y >.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
109com23 74 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( z  e.  A  ->  ( E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  B
) ) )
1110a2d 24 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y
>. )  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
1211alimdv 1628 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) ) )
13 df-rel 4852 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  <->  A  C_  ( _V 
X.  _V ) )
14 dfss2 3305 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
15 elvv 4903 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. x E. y 
z  =  <. x ,  y >. )
1615imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  A  -> 
z  e.  ( _V 
X.  _V ) )  <->  ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1716albii 1572 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  A  ->  z  e.  ( _V  X.  _V )
)  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
1813, 14, 173bitri 263 . . . 4  |-  ( Rel 
A  <->  A. z ( z  e.  A  ->  E. x E. y  z  =  <. x ,  y >.
) )
19 dfss2 3305 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. z
( z  e.  A  ->  z  e.  B ) )
2012, 18, 193imtr4g 262 . . 3  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  ( Rel  A  ->  A  C_  B
) )
2120com12 29 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  C_  B
) )
222, 21impbid2 196 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   <.cop 3785    X. cxp 4843   Rel wrel 4850
This theorem is referenced by:  eqrel  4932  relssi  4934  relssdv  4935  cotr  5213  cnvsym  5215  intasym  5216  intirr  5219  codir  5221  qfto  5222  dfso2  25333  dfpo2  25334  dffun10  25675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-v 2926  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-opab 4235  df-xp 4851  df-rel 4852
  Copyright terms: Public domain W3C validator