Theorem ssrel 3209

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
ssrel	|- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem ssrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2034	. . . . 5 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
2	1	a1i 8	. . . 4 |- (Rel A -> (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
3	2	19.21adv 1270	. . 3 |- (Rel A -> (A (_ B -> A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
4	3	19.21adv 1270	. 2 |- (Rel A -> (A (_ B -> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))
5		df-rel 3148	. . . . . . . 8 |- (Rel A <-> A (_ (V X. V))
6		ssel 2034	. . . . . . . 8 |- (A (_ (V X. V) -> (z e. A -> z e. (V X. V)))
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (Rel A -> (z e. A -> z e. (V X. V)))
8		elvv 3190	. . . . . . 7 |- (z e. (V X. V) <-> E.xE.y z = <.x, y>.)
9	7, 8	syl6ib 212	. . . . . 6 |- (Rel A -> (z e. A -> E.xE.y z = <.x, y>.))
10		id 59	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
11	10	anim2d 559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B)))
12		eleq1 1510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = <.x, y>. -> (z e. B <-> <.x, y>. e. B))
13	12	biimpar 417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. B) -> z e. B)
14	11, 13	syl6 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A) -> z e. B))
15		eleq1 1510	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = <.x, y>. -> (z e. A <-> <.x, y>. e. A))
16	15	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z = <.x, y>. /\ z e. A) <-> (z = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. A))
17	14, 16	syl5ib 206	. . . . . . . . . . 11 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> ((z = <.x, y>. /\ z e. A) -> z e. B))
18	17	exp3a 375	. . . . . . . . . 10 |- ((<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
19	18	19.20i 968	. . . . . . . . 9 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
20		19.23v 1275	. . . . . . . . 9 |- (A.y(z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
21	19, 20	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (A.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
22	21	19.20i 968	. . . . . . 7 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
23		19.23v 1275	. . . . . . 7 |- (A.x(E.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)) <-> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
24	22, 23	sylib 198	. . . . . 6 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (E.xE.y z = <.x, y>. -> (z e. A -> z e. B)))
25	9, 24	syl9 57	. . . . 5 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> (z e. A -> z e. B))))
26		pm2.43 63	. . . . 5 |- ((z e. A -> (z e. A -> z e. B)) -> (z e. A -> z e. B))
27	25, 26	syl6 22	. . . 4 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> (z e. A -> z e. B)))
28	27	19.21adv 1270	. . 3 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A.z(z e. A -> z e. B)))
29		dfss2 2029	. . 3 |- (A (_ B <-> A.z(z e. A -> z e. B))
30	28, 29	syl6ibr 213	. 2 |- (Rel A -> (A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B) -> A (_ B))
31	4, 30	impbid 514	1 |- (Rel A -> (A (_ B <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786   (_ wss 2018  <.cop 2382   X. cxp 3131  Rel wrel 3138

This theorem is referenced by:  relssi 3210  relssdv 3211  eqrel 3212  intasym 3389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148

Copyright terms: Public domain