Theorem ssrel 4764

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel	|- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem ssrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3149	. . 3 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 2014	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		eleq1 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. A <-> <. x , y >. e. A ) )
4		eleq1 2318	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. B <-> <. x , y >. e. B ) )
5	3, 4	imbi12d 313	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. A -> z e. B ) <-> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	5	biimprcd 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
7	6	2alimi 1547	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
8		19.23vv 2023	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
9	7, 8	sylib 190	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
10	9	com23 74	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z e. A -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> z e. B ) ) )
11	10	a2d 25	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
12	11	alimdv 2018	. . . 4 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. A -> z e. B ) ) )
13		df-rel 4676	. . . . 5 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14		dfss2 3144	. . . . 5 |- ( A C_ ( _V X. _V ) <-> A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) )
15		elvv 4736	. . . . . . 7 |- ( z e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y z = <. x , y >. )
16	15	imbi2i 305	. . . . . 6 |- ( ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
17	16	albii 1554	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
18	13, 14, 17	3bitri 264	. . . 4 |- ( Rel A <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
19		dfss2 3144	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. z ( z e. A -> z e. B ) )
20	12, 18, 19	3imtr4g 263	. . 3 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( Rel A -> A C_ B ) )
21	20	com12 29	. 2 |- ( Rel A -> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A C_ B ) )
22	2, 21	impbid2 197	1 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   A.wal 1532   E.wex 1537   = wceq 1619   e. wcel 1621   _Vcvv 2763   C_ wss 3127   <.cop 3617   X. cxp 4659   Rel wrel 4666

This theorem is referenced by:  eqrel  4765  relssi  4766  relssdv  4767  cotr  5043  cnvsym  5045  intasym  5046  intirr  5049  codir  5051  qfto  5052  dfso2  23483  dfpo2  23484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-opab 4052  df-xp 4675  df-rel 4676